Übungen zu Flächeninhalten(Kreis)?
hey ho , ich hab mal wieder eine Frage zu Mathe. Wir mussten uns das Thema wieder(🙄) selbst beibringen und ich hab Schwierigkeiten den Inhalt nur mit Buchstaben zu berechnen. Wäre lieb wenn mir das jmd erklären würde oder einen Ansatz vorgeben würde.
5 Antworten
Wenn Du mit Zahlen rechnest, erstellst Du doch - zumindest im Kopf - auch erst eine Formel und setzt dann diese Zahlen ein. Den letzten Schritt lässt Du einfach weg und lässt die Buchstaben stehen. Wenn Du mehrere Formeln nutzt, setzt Du die erste Formel in die zweit ein.
Bei a) denkst Du Dir z.B. eine senkrechte Linie, die den Kreis teilt.
Dann siehst Du, dass der kleine, gelbe Halbkreis (wenn Du ihn quasi hochklappst) den gelben Teil des großen Kreises zu einer ganzen Hälfte des großen Kreises ergänzt. Du brauchst also nur eine Formel.
Bei z.B. d) Berechnest du die Kreisfläche und ziehst die Quadratfläche ab.
Wenn Du diese Differenz hinschreibst, solltest Du bemerken, dass Du etwas ausklammern kannst.
Macht eure Lehrerin die Zettel selber? Um ehrlich zu sein fällt es mir selbst als Abiturient schwer herauszufinden was da gefordert ist.
Also was das berechnen angeht würde ich die Halbkreise und kleineren Kreise einzeln berechnen und dann jeweils addieren/subtrahieren
Was du im Endeffekt hier tun sollst, ist die gelben Flächen zu berechnen. Das einzige, was du hier für die Aufgabe brauchst sind die Formeln für die Berechnung der Flächeninhalte eines Kreises und eines Quadrates. Es gilt:
A_kreis = pi*r^2 mit Radius r
A_quadrat = a^2 mit Seitenlänge a
a)
Die Fläche des großen Kreises beträgt gemäß obiger Formel:
A_kreis = pi*r^2 = pi*r^2
Aus der Zeichnung wird ersichtlich, dass die gelbe Fläche die hälfte des großen Kreises entspricht. Demnach:
A_gelb = A_kreis/2 = 0.5*pi*r^2
b)
Die Fläche des größen Kreises beträgt:
Agroß = pi*r^2
Die Fläche eines der kleinen weißen Kreise beträgt
Aklein = pi*(r/2)^2 = (pi*r^2)/4
Die gelbe Fläche entspricht der großen Kreisfläche minus den beiden kleinen weißen Kreisflächen. Entsprechend folgt:
A_gelb = Agroß - 2*Aklein = pi*r^2 - 2*(pi*r^2)/4 = (pi*r^2)/2
c)
Hierführ zerteile die Figur gedanklich in die obere Hälfte und die untere Hälfte. Die untere Hälfte entspricht einem Halbkreis und damit folgt für die Fläche:
Aunten = (pi*r^2)/2
Die obere Fläche ist etwas schwieriger. Vervollständige diese Gedanklich zu einem Rechteck. Die Fläche von diesem entspricht:
Arechteck = (2*r)*r = 2*r^2
Die obere gelbe Fläche entspricht dann dem des Rechteckes minus der der Fläche zweier Viertelkreisauschnitte. Die Fläche eines Viertelkreises lautet:
Aviertel = (pi*r^2)/4
Entsprechend folgt:
Aoben = Arechteck - 2*Aviertel = 2*r^2 - 2*(pi*r^2)/4 = (2 - pi/2)*r^2
Die gelbe Fläche ist dann die Summe der oben und unteren Fläche:
A_gelb = Aoben + Aunten = (pi*r^2)/2 + (2 - pi/2)*r^2 = 2*r^2
d)
Die gelbe Fläche ist einfach die Differenz von der großen Fläche des Kreises und der kleinen Fläche des Quadrates. Es folgt:
Akreis = pi*r^2
Aquadrat = r^2
Es folgt damit insgesamt:
A_gelb = Akreis - Aquadrat = (pi - 1)*r^2
a)
Die halbe Fläche des grossen Kreises, deshalb heisst es ja Yin/Yang. Besser zu erkennen, wenn man den grossen Kreis in vier gleiche Kuchenteile teilt. Es sind einfach nur Spiegelungen der Flächeninhalte.
b)
Die Fläche des grossen Kreises - 2 x die Fläche eines kleinen Kreises.
c)
Den oberen Teil der Figur mit zwei gleichen, nebeneinander liegenden Quadraten abdecken, deren Eckpunkte am Kreiszentrum zusammenstossen. Damit hat man die Fläche des unteren Halbkreises und der beiden Quadrate. Von den beiden Quadratflächen dann noch die beiden Flächen der Viertel-Kreise links und rechts abziehen.
d)
Die Fläche des grossen Kreises - die Fläche des Quadrats.
Aufgabe a:
Es fällt auf, dass die gelbe Fläche so groß ist wie die weiße. Daraus folgt, dass beide Flächen exakt die Hälfte des Ganzen sein muss. Formel fürs Ganze hast Du ja - also durch 2.
Aufgabe b:
Gelbe Fläche = Fläche großer Kreis - (2x kleiner Kreis)
Der Radius vom kleinen Kreis ist halb so groß wie vom großen. So kannst Du beide Flächen (groß & klein) ausrechnen und in die Formel oben einsetzen.
usw.