Wie kann man ein Trapez berechnen, wenn nur eine Länge gegeben ist?
Hi, wir sollten heute in Mathe eine Aufgabe aus dem Lambacher Schweitzer, Mathematik für Gymnasien 9 auf Seite 55/10 bearbeiten. Dabei soll man Umfang und Flächeninhalt eines gleichschenkligen Trapez berechnen. Es sind aber nur eine Länge und alle Innenwinkel gegeben. Selbst unser Mathelehrer fand keine Lösung für die Aufgabe. Nun soll ich diese schwere Aufgabe nächste Stunde vorstellen und bin am Verzweifeln.
Weiß jemand von euch, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann?
Danke für eure Hilfe
3 Antworten
Mit Sinus bekommst Du die Höhe des Trapezes (Strecke ED).
Da das Dreieck CDE Gleichschenklig ist hast Du damit auch CD.
AE ergibt sich mit Cos oder Sin oder mit Pythagoras aus dem Dreieck AED. Der Rest ergibt sich aus der Symmetrie des Trapezes und den "klassischen" Formeln ( (a+c) / 2 * h) bzw a + c + 2 * s (= 4 cm)
Sinus und Cosinus haben wir anfang der 9.Klasse noch nicht..
"Selbst unser Mathelehrer fand keine Lösung für die Aufgabe."
Dann hatt er euch entweder veräppelt oder er ist ein Volldolm.
Für die Lösung braucht es übrigens weder Sinus- noch Kosinussatz, sondern lediglich eine gewisse Begabung zur "Beobachtung", gepaart mit einem Quäntchen logischem Denken und der einmaligen Anwendung der Weisheit des Onkel Pythagoras - und natürlich der Grundrechnungsarten...
OK.... um es zu verdeutlichen: für so eine Aufgabe muss man nicht Mathematik studiert haben... es genügt allenfalls das Wissen um die Beschaffenheit eines gleichseitigen Dreiecks und die Anwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes (ja, den mit Katheten und Hypotenuse...).
Ja es muss irgendwie mit der Satzgruppe des Pythagoras zu lösen sein, aber ich weiß eben nicht wie und darum wende ich mich auch an dieses Forum
- Die Strecke DE bekommst du aus dem Sinus-Satz.
- Wenn der Winkel bei DCE 45° ist, ist es auch der Winkel DEC (Winkjelsumme im Dreieck ist 180°, 180°-90°-45°=45°). Dann ist die Strecke DC gleich der Strecke ED (gleichseitiges Dreieck).
- Die Strecke AE bekommst du aus dem Cosinus-Satz.
- Damit hast du alles für den Umfang.
- Für die Fläche ist es einfacher, das Dreieck AED abzuschneiden, zu kippen und rechts anzufügen. Dann hast du ein Rechteck mit gegebenen Seitenlängen.
Selbst unser Mathelehrer fand keine Lösung für die Aufgabe.
Da hat er dich auf den Arm genommen.
Kann es sein, dass Du mit Sinus-/Kosinus-Satz eher die Sinus-/Kosinus-Funktion meinst?
Der Sinussatz a/sin(alpha) = c/sin(gamma) ist für gamma=90° die Definition des Sinus. Insofern ist "Sinus-Satz" und "Sinus-Funktion" beides zielführend.
Ich finde allerdings, dass Du dadurch eher verwirrst und verkomplizierst. Und wie Du siehst ist oft und auch in diesem Fall der Sinussatz noch nicht bekannt, wohl aber die -funktion.
"Da hat er dich auf den Arm genommen."
...das sehe ich auch so...
...und wie schon gesagt: EIN Blick auf die im Trapez vorhandenen Winkel offenbart die Lösung der Aufgabe schneller, als du das Wort "Winkelfunktionen" aussprechen kannst... ;-)
Nein veräppelt hat er uns ganz sicher nicht, aber er ist nicht wirklich der beste Lehrer...