Thermalbad - Flächen zwischen Funktionsgraphen?
Liebe Freunde der Mathematik, ich übe gerade für eine Klausur und komme mit einer Aufgabe über bestimmte Integrale nicht zurecht. Es wäre schön, wenn mir jemand eine Herangehensweise anbieten könnte. Ich habe mich an a) versucht, indem ich Punkte in f(x) eingesetzt hab, es kam aber immer 0=a raus. Vielen Dank für die Hilfe und liebe Grüße, Lena
2 Antworten
Hallo,
zunächst mußt Du die Funktionsgleichungen f(x) und g(x) bestimmen, indem Du die Informationen auswertest, die in der Aufgabenstellung gegeben sind.
f(x) hat die Form ax²+b, wobei b die Stelle ist, an der die Funktion die y-Achse schneidet, also 4.
So muß nur noch a bestimmt werden.
Da Du weißt, daß der Punkt (4|2) auf dem Funktionsgraphen liegt, setzt Du den Punkt in die Gleichung ein und löst sie nach a auf.
Der Funktionswert, also f(x), ist 2, wenn für x eine 4 eingesetzt wird:
a*4²+4=2
16a=-2
a=-1/8
f(x)=(-1/8)x²+4
g(x) hat die Form ux^4+vx²
Hier brauchst Du zwei Gleichungen, um u und v zu berechnen.
Der Punkt (0|0) hilft Dir dabei allerdings nicht, weil der schon dadurch 'eingearbeitet' ist, daß g(x) kein absolutes Glied hat, also keine Zahl ohne x.
Aber es gibt ja noch den Punkt (4|2) bzw. (-4|2), was wegen der Symmetrie der Funktion aufs Gleiche herauskommt.
g(4)=2, also:
256u+16v=2
Durch 16 teilen:
16u+v=1/8
v=1/8-16u
Nun brauchst Du eine weitere Gleichung. Allerdings nützt Dir der Punkt (-4|2) hier nichts, weil der nur zu der Gleichung führt, die wir bereits haben.
Es gibt aber noch eine wichtige weitere Information, nämlich daß g(x) bei Punkt (4|2) horizontal ausläuft, was bedeutet, daß die Steigung dort gleich 0 ist.
Also: g'(4)=0
g'(x)=4ux³+2vx
g'(4)=256u+8v=0
Teilen durch 8:
32u+v=0
v=-32u
Nun wissen wir aus Gleichung 1, daß v=1/8-16u ist und aus Gleichung 2, daß v=-32u ist.
1/8-16u muß also das Gleiche sein wie -32u:
1/8-16u=-32u
16u=-1/8
u=-1/128
Da v=-32u und u=-1/128, ist v=1/4
Dementsprechend lautet g(x):
g(x)=(-1/128)x^4+(1/4)x²
Die Fläche zwischen f(x) und g(x) bekommst Du nun, indem Du g(x) von f(x) abziehst und vom Ergebnis eine Stammfunktion bildest, die Du von -4 bis 4 integrierst:
f(x)-g(x)=(-1/8)x^2+4-((-1/128)x^4+(1/4)x²)=(1/128)x^4-(3/8)x²+4
Eine Stammfunktion dazu lautet (1/640)x^5-(1/8)x^3+4x
Nun setzt Du einmal für x eine 4 ein, rechnest das Ergebnis aus und ziehst davon das Ergebnis ab, das Du bekommst, wenn Du für x eine -4 einsetzt.
Fertig.
Herzliche Grüße,
Willy
Wegen der Symmetrie reicht es, von 0 bis 4 zu integrieren und das Ergebnis zu verdoppeln.
Weil die Stammfunktion für x=0 Null wird, brauchst Du also nur für x die 4 einzusetzen und das Ergebnis mit 2 zu multiplizieren.
Das geht schneller.
Hast Du Dich vielleicht mit den Kästchen verzählt?
Ich sehe: f(0)=4 und f(4)=2; macht b=4 und a=(2-b)/4²=-1/8.