Textaufgabe zu Grenzwerten und Folgen?
Hallo erstmal,
Ich stehe bei dieser Aufgabe gerade auf dem Schlauch. Mir geht es bei meinen Fragen gerade um den Umfang.
- Ist der Grenzwert des Umfangs 4 ?
- Wie kann ich den Prozess, bei dem man immer das kleine Quadrat wegnimmt in einer Formel festhalten?
Vielen Dank im Voraus für alle Antworten!!
2 Antworten
Bzgl. des Umfangs würde ich nur die senkrechten Seiten der "Ausschnitte" betrachten (die waagerechten Längen ergeben ja immer 1).
Bei 1 entfernten Quadrat hast Du 2 senkrechte Seiten mit jeweils 1/3 Länge,
bei 2 entfernten Quadraten sind es 4 senkr. Seiten mit jeweils 1/5 Länge,
bei 3 entfernten Quadraten sinds 6 senkr. Seiten je 1/7 Länge.
...
bei n entfernten Quadraten wären es dann 2n senkr. Seiten à 1(2n+1) Länge, also beträgt die Länge der unteren Seite 1+2n * 1/(2n+1).
Lässt Du nun n gegen unendlich laufen, hast Du die Länge auf die die untere Seite hinausläuft...
Bzgl. der Quadrate nehmen die entfernten Quadrate diese Fläche ein: n*(1/(2n+1))².
Sei n die Anzahl der herausgeschnittenen Quadrate. Dann haben sie die Seitenlänge 1/(2n+1).
Man hat unten insgesamt (4n+1) Strecken.
Die effektive Länge der unteren Seite des großen Quadrats ist (4n+1)/(2n+1), der Grenzwert ist 2, also für den gesamten Umfang 5.
Man hat n Quadrate herausgeschnitten, deren Flächeninhalt ist n/(2n+1)². Der Grenzwert ist 0, also für die gesamte Fläche des großen Quadrats 1.