Taylor Expansion von f(x+h) zu f(x)?

In der Vorlesung haben wir diese Formel für die Taylor Expansion:

und weitere aber immer in der Form f(x+h). Dabei steht x für die Stelle an der die Expansion durchgeführt wird.

Ich soll das für e^x machen:

Das e^x da wird 1 weil wir ja bei x = 0 sind, aber was passiert mit dem h? Also wie komm ich von f(x+h) zu f(x)?

Answer 1

[mihisu]

Bei der von dir beschriebenen Formel...

$f(x+h)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{h^{k}}{k!}f^{(k)}(x)$

... kann das dortige x als eine feste Stelle x₀ sehen, um welche die Funktion entwickelt wird.

$f(x_0+h)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{h^{k}}{k!}f^{(k)}(x_0)$

Der Wert h gibt quasi an, wie weit die betrachtete Stelle x₀ + h von der Entwicklungsstelle x₀ abweicht.

Im konkreten Fall, bei der Lösung hat man wohl x₀ = 0 als konkrete Entwicklungsstelle betrachtet.

$f(0+h)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{h^{k}}{k!}f^{(k)}(0)$

$f(h)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{h^{k}}{k!}f^{(k)}(0)$

$f(h)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{h^{k}}{k!}\underbrace{\text{e}^{0}}_{=1}$

$f(h)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{h^{k}}{k!}$

Wenn man nun eine Stelle x betrachtet, die h = x von der Entwicklungsstelle 0 entfernt ist... [Bzw. könnte man das auch als Umbenennung von h zu x sehen.]

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$