Tangente im Kurvenpunkt P(1/Y) schneidet den Graphen von f in 3 Punkten. Welche Korrdinaten (Schnittpunkte) haben diese f: y = x^5-3x^4+5x^2+2?
Hallo zusammen
Wisst ihr wie man diese Aufgabe löst?
Wisst ihr wie man solche Funktionen mit höhren Grad faktorisiert, um die Nullstellen zu berechnen? Ich komme eben auch nicht auf die Nullstelle.
Auf eure Antwort wäre ich dankbar!
2 Antworten
Kurvenpunkt (1 | y)
Den rechnest du jetzt erstmal aus -->
y = f(x) = x ^ 5 - 3 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 + 2
f(1) = 1 ^ 5 - 3 * 1 ^ 4 + 5 * 1 ^ 2 + 2 = 5
Dein vervollständigter Kurvenpunkt lautet also (1 | 5)
Eine Tangente ist eine Gerade und hat die Form y = m * x + b
m = Steigung der Tangente / Geraden
b = y-Achsenabschnittspunkt der Tangente / Geraden
Wenn die Tangente die Funktion an der Stelle (1 | 5) berührt, dann muss sie bei x = 1 dieselbe Steigung haben, wie die Funktion.
Die Steigung der Funktion berechnest du über die 1-te Ableitung der Funktion.
y = f(x) = x ^ 5 - 3 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 + 2
y´ = f´(x) = 5 * x ^ 4 - 12 * x ^ 3 + 10 * x
x = 1
f´(1) = 5 * 1 ^ 4 - 12 * 1 ^ 3 + 10 * 1 = 3
Damit ergibt sich für die Steigung m deiner Tangente m = 3
Der Schnittpunkt / Berührpunkt lautete (1 | 5) und die Tangente lautet y = m * x + b
Nun kannst du b ausrechnen -->
y = m * x + b
5 = 3 * 1 + b | - 3
b = 2
Tangente -->
y = 3 * x + 2
Die Schnittstellen zwischen der Tangente und der Funktion berechnest du jetzt durch gleichsetzen -->
Eine Schnittstelle ist ja schon bekannt und zwar x _ 1 = 1
x ^ 5 - 3 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 + 2 = 3 * x + 2
Das bringst du jetzt alles auf die linke Seite -->
x ^ 5 - 3 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 - 3 * x = 0
Nun klammerst du ein x ^ 1 aus -->
x ^ 1 * (x ^ 4 - 3 * x ^ 3 + 5 * x - 3) = 0
Ein weiterer Schnittpunkt liegt also an der Stelle x _ 2 = 0
Nun führst du eine Polynomdivision von x ^ 4 - 3 * x ^ 3 + 5 * x - 3 dividiert durch (x - 1) durch.
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm
(x ^ 4 - 3 * x ^ 3 + 5 * x - 3) / (x - 1) = x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 2 * x + 3
Nun bestimmt du die Nullstellen von x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 2 * x + 3
x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 2 * x + 3 = 0
Nun stellst du für x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 2 * x + 3 erstmal per Hand eine Wertetabelle auf, das kannst du notfalls auch online im Internet erledigen lassen -->
https://goo.gl/LwtsXM
Du stellst fest, dass bei x _ 3 = 1 eine weitere Nullstelle liegt, weil x _ 1 = 1 eine sogenannte doppelte Nullstelle ist.
Nun führst du nochmal ein Polynomdivision durch -->
(x ^ 3 - 2 * x ^ 2 - 2 * x + 3) / (x - 1) = x ^ 2 - x - 3
Nun musst du nur noch die Nullstellen von x ^ 2 - x - 3 berechnen und das geht mit der pq-Formel -->
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/pq-formel-quadratische-gleichungen-mathematik.html
x ^ 2 - x - 3 = 0
p = -1
p / 2 = - 1 / 2
(p / 2) ^ 2 = 1 / 4
q = -3
x _ 4 = - (p / 2) + √((p / 2) ^ 2 - q)
x _ 5 = - (p / 2) - √((p / 2) ^ 2 - q)
x _ 4 = 1 / 2 + √(1 / 4 + 3)
x _ 4 = 1 / 2 + √(1 / 4 + 12 / 4)
x _ 4 = 1 / 2 + √(13 / 4)
x _ 4 = 1 / 2 + √(13) / 2
x _ 4 = (1 / 2) * (1 + √(13))
x _ 5 = 1 / 2 - √(13) / 2
x _ 5 = (1 / 2) * (1 - √(13))
Damit hast du alle Schnittstellen zusammen -->
x _ 1 = 1
x _ 2 = 0
x _ 3 = 1
x _ 4 = (1 / 2) * (1 + √(13))
x _ 5 = (1 / 2) * (1 - √(13))
Da x _ 1 und x _ 3 identisch sind, kannst du das zusammenpacken und am besten auch noch mal umsortieren -->
x _ 1 = (1 / 2) * (1 - √(13))
x _ 2 = 0
x _ 3 = 1
x _ 4 = (1 / 2) * (1 + √(13))
Nun setzt du diese x-Werte in deine ursprüngliche Funktion x ^ 5 - 3 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 + 2 ein und erhältst folgende Punkte -->
((1 / 2) * (1 - √(13)) | (1 / 2) * (7 - 3 * √(13)))
(0 | 2)
(1 | 5)
((1 / 2) * (1 + √(13)) | 7 / 2 + (3 * √(13)) / 2)
Der Punkt (1|5) soll ja nicht mitbetrachtet werden, sodass in der Tat 3 andere Schnittpunkte übrigbleiben.
Ich setze x0 = 1 ; der Trick: Jetzt denk doch mal von der ===> Taylorentwicklung her. Dein Polynom lautet
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + ( h ³ / 3 ! ) f(³) ( x0 ) + ... ( 1.1a )
+ ( h ^ 4 / 4 ! ) ( d/dx ) ^ 4 ( x0 ) + h ^ 5 ( 1.1b )
mit
h := x - x0 ( 1.2 )
Die Tangente g ( x ; x0 ) an der Stelle x0 ist doch per Definitionem nichts weiter als der lineare Anteil von Reihe ( 1.1ab )
g ( x ; x0 ) := f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) ( 1.3 )
Du setzt also ( 1.1ab ) gleich mit ( 1.3 ) ; dann überlebt offenbar nur
( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + ( h ³ / 3 ! ) f(³) ( x0 ) + ... ( 1.4a )
+ ( h ^ 4 / 4 ! ) ( d/dx ) ^ 4 ( x0 ) + h ^ 5 = 0 | : h ² ( 1.4b )
1/2 f " ( x0 ) + ( h / 3 ! ) f(³) ( x0 ) + ... ( 1.5a )
+ ( h ² / 4 ! ) ( d/dx ) ^ 4 ( x0 ) + h ³ = 0 ( 1.5b )
So ich schick jetzt erst mal ab, weil dieser Editor so rätselhaft instabil ist; wie du siehst, müssen wir fleißig sein und jede Menge Ableitungen bilden. Das geschieht in Teil 2 meiner Ergüsse.
f ( x ) := x ^ 5 - 3 x ^ 4 + 5 x ² + 2 ( 2.1a )
f ' ( x ) = 5 x ^ 4 - 12 x ³ + 10 x ( 2.1b )
1/2 f " ( x ) = 10 x ³ - 18 x ² + 5 ( 2.1c )
( 1 / 3 ! ) f(³) ( x ) = 2 ( 5 x ² - 6 x ) ( 2.1d )
( 1 / 4 ! ) ( d/dx ) ^ 4 f ( x ) = 5 x - 3 ( 2.1e )
( 1 / 4 ! ) ( d/dx ) ^ 4 f ( x0 ) = 2 ( 2.2a )
( 1 / 3 ! ) f(³) ( x0 ) = ( - 2 ) ( 2.2b )
1/2 f " ( x0 ) = ( - 3 ) ( 2.2c )
h ³ + 2 h ² - 2 h - 3 = 0 ( 2.3 )
Ich geb's zu; ich hab bei Wolfram gespickt. Nach dem ===> Satz von
der rationalen Nullstelle ( SRN ) sind nur ganzzahlige Wurzeln
zugelassen als da sind
{ +/- 1 ; 3 } ( 2.4 )
Auch hier wieder der Seitenhieb auf Gauß; Wikis Behauptung, der Entdecker des SRN sei Gauß, stellt die größte Fälschung der gesamten Matematikgeschichte dar. Leider hab ich ausgerechnet heute keine Zeit, mich groß damit aufzuhalten ( Es sei denn natürlich, du forderst Vortrag )
( 2.3 kannst du nämlich voll genialamente klammern:
( 2.3 ) = ( h ³ + h ² ) + ( h ² - 1 ) - 2 ( h + 1 ) ( 2.5a )
Ist ( 2.5a ) so weit klar? Ich habe nur bei dem h ² Term voll schweinisch listig die Reihenfolge von zwei Termen vertauscht, damit " zusammen kommt, was zusammen gehört "
( 2.5a ) = h ² ( h + 1 ) + ( h + 1 ) ( h - 1 ) - 2 ( h + 1 ) = ( 2.5b )
= ( h + 1 ) [ h ² + ( h - 1 ) - 2 ] = ( 2.5c )
= ( h + 1 ) ( h ² + h - 3 ) ( 2.5d )
Zunächst mal musst du dir klar machen, dass h = ( - 1 ) entspricht x = 0 . Ansonsten hast du diese quadratische Gleichung aufzulösen mittels Mitternachtsformel.