Symmetrisches Intervall finden đ«?
Hallo, wÀre einer so nett und so fÀhig mir bei dieser Aufgabe zu helfen bin am verzweifeln.
Danke im Voraus đ
1 Antwort
KlÀren wir erstmal die Begriffe:
- "Symmetrisches Intervall" bedeutet wir haben eine Abweichung a (einen Wert) von der Wendestelle x_w in beide Richtungen. Allgemein kann man es so formulieren: Intervall mit den Grenzen
- ï»żï»ż
- Die durchschnittliche Steigung ist genau die Steigung einer Geraden, die durch die beiden Funktionswerte an den jeweiligen Intervallgrenzen verlÀuft. Bedeutet konkret: Die Funktion g wird an der linken und dann an der rechten Intervallgrenze ausgewertet. Diese beiden resultierenden Funktionswerte (y1, y2) können dann in die Punktsteigungsform eingesetzt werden und daraus ergibt sich die durchschnittliche Steigung m.
- Der Wert der halben Steigung im Wendepunkt lÀsst sich direkt ermitteln, indem man die Wendestelle in die erste Ableitung einsetzt und halbiert.
Jetzt muss das ganze noch in einer Gleichung aufgeschrieben und gelöst werden. GemÀà der Aufgabenstellung soll also Folgendes gelten:
ï»żï»ż
Hab es spaĂeshalber mal versucht zu rechnen und konnte keine analytische Lösung finden... WolframAlpha aber auch nicht. ;)
Hier ist das ganze mal graphisch dargestellt:
https://www.desmos.com/calculator/xd3gdhwouu
Und die numerische Lösung aus WolframAlpha ist hier.
Die Formel bildet sich aus dem Ansatz (also meiner letzten Gleichung).
Auf der rechten Seite der Gleichung ergibt sich ein durch Einsetzen von x_w ein Wert von -25. Und auf der linken Seite der Gleichung wird das m durch die Punktsteigungsform
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
ersetzt mit
y1 = g(x_w - a)
y2 = g(x_w + a)
x1 = x_w - a
x2 = x_w + a
Die Y-Werte ergeben sich durch Einsetzen der Intervallgrenzen in die Funktion g. Dabei zieht sich das a natĂŒrlich durch die ganze Rechnung durch, denn das ist ja genau der Parameter, den wir suchen.
Hat man die beiden Seiten der Gleichung wie beschrieben ersetzt, dann kann man versuchen, das ganze nach a aufzulösen (was hier relativ schwierig ist).
da mir einfach zu viele Werte fehlen.
Das ist leider genau das Problem hier. Die Werte hĂ€ngen alle von a ab. Wir haben zwar fĂŒr die Werte entsprechende Formeln, aber explizite Zahlen können damit nicht berechnet werden, solange a nicht bekannt, also die Gleichung nicht gelöst ist.
Ist das eine Aufgabe aus der Oberstufe?
Wie sieht die ganze Aufgabe aus? Vielleicht lassen sich aus dem vorangegangenen Aufgabentext irgendwelche Vereinfachungen ableiten.
Eine andere Möglichkeit, ist eine NÀherung der Funktion g zu konstruieren, die eine einfache Berechnung von a zulÀsst.
Hier bietet es sich an, die Funktion g als eine abschnittsweise definierte Funktion f, bestehend aus linearen Funktionen, zu nÀhern.
Im Graphen von g sehen wir (weit) links und rechts des Wendepunkts (fast) ein Plateau. Diese Abschnitte nÀhern wir durch die konstanten Funktionen f1(x) = 180 und f3(x) = 80. Den Bereich zwischen Wendepunkt von g und dem beginnenden Plateau nÀhern wir als lineare Funktion f2 mit der Steigung des Wendepunkts. (Das Vorgehen ist hierbei wie beim Anlegen einer Tangente):
f2(x) = -50x + 130 +50*(ln(2)+20) = -50x + 130 +50*x_w
Jetzt fehlt unserer NĂ€herungsfunktion f noch die Definition der Abschnitte der einzelnen Teilfunktionen. D.h. wir mĂŒssen definieren: wo hört die Funktion f1 auf, wo fĂ€ngt f2 an, wo hört f2 auf und wo fĂ€ngt f3 an.
Wenn du dir den Graphen dazu anschaust, sollte es anschaulich werden:
https://www.desmos.com/calculator/pfyo1h53j4
Wir wĂ€hlen dafĂŒr die Punkte, in denen unsere Geradenfunktion f2 die beiden Plateaus oben und unten schneidet, also bei y=180 und y=80.
Also berechnen wir:
180 = f2(x_a)
80 = f2(x_b)
und erhalten nach Auflösen die Werte:
x_a = ln(2) + 19
x_b = ln(2) + 21
Die Funktion f noch mal sauber aufgeschrieben:
f(x) =
f1(x) = 180 fĂŒr x < ln(2) + 19,
f2(x) = -50x + 130 +50*x_w fĂŒr ln(2) + 19 <= x <= ln(2) + 21,
f3(x) = 80 fĂŒr x > ln(2) + 21.
Da sich mit abschnittsweise definierten Funktionen nicht so gut rechnen lÀsst, treffen wir die Annahme, dass a >= 1 = (x_b - x_a)/2 ist. Anschaulich bedeutet das: Die Intervallgrenzen liegen nicht auf dem Abschnitt von f2, sondern auf den Abschnitten von f1 und f3.
Unter dieser Annahme lÀsst sich mit der Punktsteigungsform prima rechnen:
Steigung m_f = ( f(x_w + a) - f(x_w - a)) / (x_w + a - (x_w - a))
= (f(x_w + a) - f(x_w - a)) / 2a
Da wir hier mit konstanten Funktionen (streng genommen: Funktionsabschnitten) rechnen, mĂŒssen wir den Wert von a gar nicht wissen. Wir mĂŒssen nur wissen, dass er gröĂer/gleich 1 ist (siehe Annahme). So ergibt sich:
= (80 - 180) / 2a
Unser ursprĂŒnglicher Ansatz gilt immer noch: m_f = g'(x_w) / 2 = -25
-25 = m_f
-25 = (80 - 180) / 2a = -100 / 2a
>>> a = 2
Es sei noch mal klargestellt, dass a = 2 nicht die exakte Lösung des ursprĂŒnglichen Problems ist. Es ist die (exakte) Lösung der NĂ€herungsfunktion und damit selbst auch nur eine NĂ€herung fĂŒr das ursprĂŒngliche Problem.
Mit einer relativen Abweichung von ĂŒber 4% ist sie evtl. nur bedingt brauchbar.
Vielen Dank fĂŒr deine Antwort. Leider weiĂ ich nicht, wie ich die Formel bilden soll. Den Ansatz hatte ich soweit tatsĂ€chlich auch schon, mir fehlen leider nicht nur die oberen und unteren Intervallgrenzen, sondern auch die Y Werte Werte fĂŒr die gesuchten Intervallgrenzen. Ich bekomme im Kopf keine logische Verbindung zwischen der durchschnittlichen Ănderung um die Stelle Xw und dem symmetrischen Intervall, da mir einfach zu viele Werte fehlen.