Summenwert berechnen?

Hi, ich habe folgende Folge S gegeben:

S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ....

=> a1= 1 ; q= 0,5

Daraus folgt an = (1/2)^n

Nun möchte ich den Summenwert berechnen, also setzte ich a1 und q in die geometrische Reihe ein:

Sn = (0,5^n -1)/(0,5-1)

Wie würde der nächste Schritt aussehen ?

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

[Kurax15]

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\sum_{ }^{ }\left(\frac{1}{2}\right)^k$

Wobei mit q:=1/2 das eine geometrische Reihe darstellt.

Den Wert der Reihe kannst du dann mit

$\frac{1}{1-q}=\frac{1}{0,5}=2$

bestimmen.

An der Stelle hilft es dir bei diesem einfach Beispiel vllt, wenn du dir einen Kuchen vorstellst. Zuerst nen ganzen, dann noch nen halben, ein Viertel, ein Achtel usw. Als Summe kommt man da leicht auf 2.

Grüße

Edit: Wenn du ab k=1 zählst dann musst du noch das erste Glied abziehen (was 1 ist). Der Wert der Reihe wäre dann 2-1=1

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Hab mal 3 Semester Mathe studiert

Comments

[lago1234]

Vielen Dank!

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

die Summenformel einer geometrischen Reihe lautet a1*(q^n-1)/(q-1).

a1, das erste Glied der Reihe, ist hier 1/2, q ist auch 1/2.

Also (1/2)*[(1/2)^n-1]/(1/2-1).

Für n gegen unendlich geht (1/2)^n gegen 0 und es bleibt also Grenzwert

(1/2)*(-1)/(-1/2)=(1/2)*2=1.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[lago1234]

Vielen Dank!

Answer 3

[Schachpapa]

Vorsicht, die Summenformel zählt ab i=0 !

Wenn du einfach nur n gegen unendlich gehen lässt, wird dein Grenzwert um 1 zu groß.

Answer 4

[Jangler13]

Du lässt jetzt n gegen unendlich gehen.

0.5^n geht gehen 0

Also ist der Grenzwert -1/(0.5-1)=2

Comments

[lago1234]

Achso danke !!

[Jangler13]

@lago1234

Ah, du musst aufpassen, dass 0.5^0 nicht dabei ist, du musst also noch 1 abziehen

[Schachpapa]

Nö.