Summen kann man nicht kürzen?

Hier habe ich folgende Summe ausgerechnet. Ist das richtig?

$\frac{d^8+d^7}{d^8}+\frac{d^8}{d^8}+\frac{d^7}{d^8}=1+\frac{1}{d}$ Durch Summen kann man scheinbar nicht kürzen. Wieso ginge es im Fall von d^7/d^8 ?

Answer 1

[DopaminHarp]

Ich gehe mal davon aus, dass das b in der Lösung ein Tippfehler ist und eigentlich ein d sein soll, ja?

In Kurz: Du kannst du einfach die Exponenten kürzen, wenn die Basis gleich ist.

In lang: Wenn die Basis (das d) gleich ist, kannst du die Zahlen Multiplizieren, indem du deren Exponenten addierst. Also

$d^2+d^3=d^{2+3}=d^5$

Zudem gilt, dass

$\frac{1}{d^2}=d^{-2}$ Wenn die Zahl im Nenner steht, kannst du sie also mit negativem Exponenten auch in den Zähler schreiben - oder umgekehrt.

Du hast nun den zusammengefassten Bruch und klammerst oben aus:
$d^8+d^7=d^8\cdot1+d^8\cdot d^{-1}=d^8\left(1+d^{-1}\right)$ Dann kannst du kürzen und behältst nur das in der Klammer übrig.

$\frac{d^8\cdot\left(1+d^{-1}\right)}{d^8}=1+d^{-1}=1+\frac{1}{d}$

Die beiden anderen Brüche sind 1 und 1/d.

Du hast also am Schluss:

$1+d^{-1}+1+d^{-1}=2+2d^{-1}=2\left(1+\frac{1}{d}\right)$

Oder sollte das + zwischen Bruch 1 und Bruch 2 ein = sein?
Das würde nämlich passen und dann wäre dein Ergebnis korrekt.

Answer 2

[EdCent]

Hallo,

das erste + soll vermutlich ein = sein.

Es gilt

(a+b)/c = a/c + b/c

oder auch

(a+b)/a = a/a + b/a = 1+ b/a

🤓

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Unterricht am Gymnasium