Stetigkeit bei f(x,y) Funktion. Wie muss ich das a wählen?
Es geht um den letzten Punkt, bei welchem nach einem a gesucht ist
Ist das so richtig? Ich hätte erst a=0 gesagt, aber das Problem ist, dass dieses 3dimensionale Gebilde bei (0,0) sowohl unendlich nach oben schiesst, also auch unendlich nach unten schiesst, so glaube ich zumindest. Wie gehe ich an sowas ran?
2 Antworten
Ich hätte erst a=0 gesagt [...]
Das ist falsch.
[...] aber das Problem ist, dass dieses 3dimensionale Gebilde bei (0,0) sowohl unendlich nach oben schiesst, also auch unendlich nach unten schiesst, so glaube ich zumindest.
Ja, das ist richtig. Deshalb existiert der Grenzwert von f(x, y) für (x, y) → (0, 0) nicht, und deshalb ist f an der Stelle (0, 0) nicht stetig fortsetzbar. Es gibt keine entsprechende reelle Zahl a.
Antwort: Nein, f ist nicht nach (0, 0) stetig fortsetzbar.
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Dein skizziertes Höhenlinienbild passt übrigens. Und auch daran kann man erkennen, dass f an der Stelle (0, 0) nicht stetig fortsetzbar ist.
Denn man kann sich beispielsweise einerseits entlang der Höhenlinie H₀ der Stelle (0, 0) nähern. Damit müsste dann a = 0 sein.
Andererseits kann man sich beispielsweise auch entlang der Höhenlinie H₁ der Stelle (0, 0) nähern. Damit müsste dann a = 1 sein.
Da a jedoch nicht zugleich 0 und 1 sein kann, gibt es keine entsprechende reelle Zahl a.
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Hier übrigens, was ich evtl. für die zweite Teilaufgabe aufschreiben würde...
Es müsste ja gelten:
Nun wähle mal die Paare (x,y) speziell so, dass sie dieselben Komponenten haben (d.h. du lässt speziell (x,y) auf der "Winkelhalbierenden des 1.Quadranten" gegen (0,0) gehen. Ist ja nicht verboten... ). Da sieht a dann aber "alt aus"!
Die Vorgehensweise ist bei solchen Aufgaben häufig, einen speziellen "Konvergenzweg" gegen die gefährliche Stelle (hier (0,0)) zu betrachten, und zwar einen solchen, bei dessen Werten die Funktionsdefinition sich so vereinfacht, dass man "etwas sieht!".
(Zusatz: ok, in der Formelzeile oben müsste es korrekt "f-Schlange von (0,0)" heißen statt f(0,0).)
Die Winkelhalbierende braucht man gar nicht, es reicht a_n = (1/n, 0). Dann ist f(a_n) = n und das divergiert bestimmt.