stetig fortsetzbar = stetig oder?

Wenn ich z. B. sage, an der Stelle x=0, ist man stetig fortsetzbar, so ist das gleich wie stetig an x=0 oder?

Answer 1

[MagicalGrill]

Nein. Die Funktion f(x) = x/x ist an der Stelle x = 0 nicht definiert, also erst recht nicht stetig in x = 0. Aber sie ist dort stetig fortsetzbar.

Answer 2

[mihisu]

Nein, das ist nicht das Gleiche.

Eine Voraussetzung dafür, dass eine Funktion f an einer Stelle x₀ stetig ist, ist dass die Funktion f an der Stelle x₀ überhaupt definiert ist, also der Funktionswert f(x₀) existiert.

Bei einer Funktion die an einer Stelle x₀ stetig fortsetzbar ist, ist die Funktion hingegen in der Regel nicht an der Stelle x₀ definiert. (Sonst müsste man die Funktion ja nicht fortsetzen, also entsprechend ergänzen.)

======Ergänzung======

Beispiel:

$f:\ \mathbb{R}\setminus\left\lbrace 1\right\rbrace\to\mathbb{R},\ x\mapsto \frac{x^2-1}{x-1}$

Diese Funktion f ist nicht an der Stelle x₀ = 1 stetig, da x₀ = 1 gar nicht im Definitionsbereich ℝ∖{1} der Funktion f liegt.

Die Funktion f ist jedoch an der Stelle x₀ = 1 stetig fortsetzbar. Denn es gibt...

$\tilde{f}:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x+1$

... bzw. anders dargestellt...

$\tilde{f}:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto \begin{cases}f(x)& \text{falls }x\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 1\right\rbrace\\2&\text{falls }x=1\end{cases}$

... als stetige Fortsetzung der Funktion f.