Wie zeige ich das die Funktion stetig fortsetzbar ist genau dann wenn k>=l?

Hallo. Die Aufgabe ist im Bild. Ich hab keine Ahnung wie ich anfangen soll. Kann mir jemanden helfen? Danke

Answer 1

[DerRoll]

Wähle eine Folge ungleich a, die gegen a konvergiert. Dann kannst du x-a vollständig kürzen. Wenn k => l bleibt nur der Zähler bzw nix stehen. Wenn k < l bleibt der Nenner stehen. Damit, mit g(a) und h(a) ungl 0 und stetig folgt die Aussage.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[xxxxx1234567899]

Aber was ich nicht verstehe ist wieso kann man (x-a)^k/(x-a)^l = (x-a)^(k-l) nicht vollständig kürzen?

[DerRoll]

@xxxxx1234567899

Kannst du genau für x <> a :-). Für x = a darfst du aber eben nicht einfach so kürzen, sondern über Folgenstetigkeit gehen.

[xxxxx1234567899]

@DerRoll

Sei a(n) C D\{a} mit lim a(n) = a

=> (x-a(n))^k/(x-a(n))^l = (x-a(n))^(k-l)

-> (x-a)^(k-l) für n -> unendlich

meintest du das so??

noch eine Frage. Wenn l>k.Dann haben wir ja gekürzt 1/(x-a)^(l-k) *(g(x)/h(x)). Woher weis ich aber das man diese Funktion nicht weiter stetig fortsetzbar machen kann ?

[DerRoll]

@xxxxx1234567899

Zur ersten Frage ja (du musst noch a_n <> a voraussetzen), zur zweiten g und h sind ungleich 0, d.h der Funktionsterm divergiert und ist damit nicht stetig.

[xxxxx1234567899]

@DerRoll

Einst verstehen ich nicht. Was meinst du mit den Zeichen <>

[DerRoll]

@xxxxx1234567899

Ungleich

[xxxxx1234567899]

warum muss ich eine folge bestimmen?

[DerRoll]

@xxxxx1234567899

Damit du <> a bleibst und kürzen darfst. Dann lässt du gegen a konvergieren.

[DerRoll]

Nebenbei ist die Existenz der Folge garantiert da Häufungspunkt.