Standardabweichung: Wann 1/n, wann 1/(n-1)? Und warum die Quadrate der Abweichungen (und nicht Beträge)?
- Ist die Gewichtung der Hauptgrund, dass man die Abweichungen quadriert? Sonst könnte man ja einfach die Beträge der Abweichungen summieren bzw. minimieren?
- Formel für Standardabweichung: Manchmal findet man geteilt durch n, manchmal durch n-1. Wann welches?
3 Antworten
n oder n - 1 ?
Hier ein intuitiver Erklärungsversuch, der nicht für sich in Anspruch nimmt, eine mathematische Herleitung zu sein. Letztere dürfte nur in div. Uni-Skripten oder entsprechender Fachliteratur zu finden sein.
Die "harte" mathematische Begründung für 1. ist, dass man mit den Quadraten viel besser weiter rechnen kann als mit den Beträgen. Die so berechnete Varianz lässt sich in vielen statistischen Verfahren in Summen von Teilvarianzen zerlegen, z.B. bei der Varianzanalyse kann man persönliche Eigenarten z.B. in Abhängigkeiten von den Merkmalen Geschlecht, Alter, Staaatsangehörigkeit usw. usf. untersuchen, und kann die Gesamt-Varianz dafür (z.B. für Körpergröße, Gewicht etc.) zerlegen in Anteile, die von den einzelnen Merkmalen stammen. Mit Beträgen klappt das nicht.
Natürlich kann man auch Deinen Rechenvorschlag nehmen, er heißt dann MAD für Mean Absolute Deviation, allerdings steht MAD allermeistens für Median Absolute Deviation, also die betragsmäßig mittlere Abweichung vom Median, nicht vom Mittelwert.
Zu 1)
Abweichungen werden quadriert, damit aus negativen Differenzen (x_k - \mu) positive Werte werden.
Zu 2) die n-1 musst du nehmen, wenn es eine "Messung" 0 gibt. Stell dir im Bespiel vor, es gäbe auch die Note 0 und ein Schüler hätte die bekommen. Dann hättest du 5 Messungen, aber noch den Mittelwert 4 (Erklärung ist nicht mathematisch, aber korrekt).
aber eben: statt quadrieren könnte man ja auch den Betrag (ohne Vorzeichen nehmen), und diese Werte minimieren.
mit dem Quadrieren verleiht man ja den Ausreissern ein höheres Gewicht, obwohl man diese (bzw. die Summer aller Abweichungen) eigentlich minimieren möchte.
Ist wohl irgendwie geschichtlich gewachsen, die harte mathematische Begründung fehlt mir da grad.