Stammfunktion von Bruch?

Hi ihr Lieben,

wie bilde ich von diesem Bruch die Stammfunktion bzw. wie integriere ich das per partieller Integration?

$\int1\cdot\arctan x\ dx=x\ \arctan x-\int x\cdot\frac{^1}{x^2+1}$

Um muss ohne Substitution gehen.

Answer 1

[BorisG2011]

Mit den Mitteln der Schulmathematik berechnet man das Integral

$\int\ \ \frac{x}{x^{^2}+1}\ dx$ durch Verwendung der Regel

$\int\ \ \frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\ dx\ =\ \ln\ \left(f\left(x\right)\right)$ Diese Formel ist etwas mühsam zu lesen; beachte, dass der Integrand ein Bruch ist, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist. Das ist wichtig.

Die Anwendung der Regel verlangt vorbereitend einen kleinen Trick. Schreibe das Integral wie folgt um:

$\int\ \frac{x}{x^2\ +\ 1}\ dx\ \ =\ \ \frac{1}{2}\cdot\int\ \ \frac{2\cdot x}{x^2\ +\ 1\ }\ dx$ Jetzt hast du ein Integral, in dem die Zählerfunktion gerade die Ableitung der Nennerfunktion ist. Du kannst die angegebene Integrationsregel also anwenden und erhältst für das gesuchte Integral den Ausdruck

$\frac{1}{2}\cdot\ \ln\left(x^2+1\right)$

Das war's.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Comments

[Mila1sweet]

Dankeschön. Wirklich gut durchdacht und erspart zudem viel Arbeit.

Answer 2

[Maxi170703]

x/(x^2+1) löst man mit, u = x^2+1, warum soll man es ohne lösen?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen - 8. Fachsemester

Answer 3

[LORDderANALYSE]

Das geht natürlch auch aunders.

Es gibt z.B. die Partialbruchzerlegung für Integration mit der man z.B. hier nicht substituieren muss, aber einen riesen Rechenweg verursacht.

Man könnte auch arctan(x) in die Logarithmusschreibweise bringen und dann das integrieren:
arctan(x) = ln((1 - x * i) / (1 + x * i)) / 2 = (ln(1 - x * i) - i ln(1 + x * i)) / 2
(mit: i² = -1)

Durch reine partielle Integration bekommt man jedoch nicht sein Integral glöst,
da der Bruch in seiner Form so ähnlich behalten wird und man dadurch halt immer noch durch Substituion lösen sollte.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung