Sattelpunkte von Funktion 4. grades?
Hey, ich mache gerade meine Mathe Aufgaben und hätte eine Frage. Wie viele sattelpunkte hat diese Funktion und woher wisst ihr das ohne die funktionsgleichung zu haben? Und ist diese Funktion für 0<x<2 monoton steigend? Wenn ja, warum?
ich brauche wirklich dringend antworten weil ich gerade für eine Klausur übe und wirklich nicht weiter komme...
3 Antworten
Wenn dein Bild die erste Ableitung zeigt, könnte die ursprüngliche Funktion die rote in diesem Bild sein (sie kann aber auch nach oben oder unten verschoben sein)
Naja, ich mach das schon ein paar Jahre.
Dein ursprünglicher Graph ist offensichtlich 4. Grades, symmetrisch, hat zwei Nullstellen bei 2 und -2 und schneidet die Y-Achse bei 4. Diese Angaben reichen, um f' anzugeben: f'(x) = 1/4 (x² - 4)² = 1/4 x^4 - 2x² + 4
Man muss das Ableiten "umdrehen" um f zu finden, also eine Funktion, deren Ableitung genau f' ergibt. Abgesehen von c, das ja beim Ableiten wegfällt, ist das eindeutig.
es gibt 3 Scheitelpunkte
Und von 0 bis 2 ist es streng monoton fallend
Genau. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Das gibt es hier nicht.
Vielen Dank, könntest du mir vielleicht nochmal helfen? Mir fällt nämlich auf, ich habe did Aufgabe falsch gelesen. Das Bild also der funktionsgraph ist der ableitungagraph, ich soll aber die Fragen nicht mit dem ableitungsgraphen beantworten, sondern mit dem normalen. Weißt du wie ich den ableitungsgrpahen in den normalen umwandeln kann?
Das nennt sich integrieren und ist relativ anspruchsvoll.
Du brauchst aber den Funktionsterm der Stammfunktion garnicht, weil du dir es auch denken kannst.
Überall wo die Ableitungsfunktion die Steigung 0 hat (mit Vorzeichenwechsel der Steigung), muss an der Stammfunktion an der Stelle eine Sattelstelle hocken.
Du kannst du übrigens auch Stammfunktionen und Ableitungen Online plotten lassen...das hilft sehr
Bei Sattelpunkten ist die Steigung 0. Gleichzeitig hat die Steigung rechts und links dieses Punktes das gleiche Vorzeichen. D.h. wenn die Funktion links vom Sattelpunkt fällt, steigt sie danach nicht an (wie bei einem lokalen Minimum), sondern sie fällt weiter. Oder wenn sie vorher gestiegen ist, steigt sie nach dem Sattelpunkt wieder.
Die grüne Kurve hat einen Sattelpunkt bei x=0, die rote bei x=3
Deine Kurve hat überhaupt keine Sattelpunkte, sondern zwei lokale Minima (bei x=2 und x=-2) und ein lokales Maximum (bei x=0)
Vielen Dank, könntest du mir vielleicht nochmal helfen? Mir fällt nämlich auf, ich habe did Aufgabe falsch gelesen. Das Bild also der funktionsgraph ist der ableitungagraph, ich soll aber die Fragen nicht mit dem ableitungsgraphen beantworten, sondern mit dem normalen. Weißt du wie ich den ableitungsgrpahen in den normalen umwandeln kann?
Einen Sattelpunkt erkennst du im Graphen der Ableitung daran,
- dass die x-Achse berührt, aber nicht geschnitten wird.
- dass die Ableitung an diesen Stellen 0 ist, aber rechts und links das Vorzeichen gleich ist.
- für die erste Ableitung an dieser Stelle gilt f'(x0) = 0 und die zweite Ableitung gilt f''(x0) = 0.
Wenn du einen der 3 Punkte bestätigen kannst, liegt ein Sattelpunkt vor (in deinem Beispiel zwei Mal)
Danke! Und wie hast du das herausgefunden?