x hoch 3 streng monoton steigend?
Hey die Frage ob x hoch 3 streng monoton steigend ist wurde zwar schon öfters gestellt aber ich hab es trotzdem nicht so ganz verstanden. Bei der Funktion x hoch 3 liegt ja ein Sattelpunkt bei 0 vor. Das heißt die Steigung in diesem Punkt ist 0. Wenn man sich jetzt aber den ersten Monotoniesatz anschaut müsste doch f'(x)>0 sein. Was hat es damit auf sich. Außerdem weis ich das bei streng monoton steigend der nächste y Wert größer ist als der vorherige y Wert für x(1)<x(2) ist. Was also stimmt jetzt.
3 Antworten
Hallo,
hier ein Beweis, dass die Funktion f(x) = x³ streng monoton steigend ist.
Sei a < b .
a < b <=> b - a > 0
Es gilt
f(b) - f(a) = b³ - a³ = (b - a)(a² + ab + b²)
Wir wissen, dass b-a > 0.
Der Term a² + ab + b² ist auch größer Null:
a² + ab + b² = 1/2 [ a² + b² + (a+b)² ]
Dieser Term ist nur dann gleich Null, wenn a = b = 0.
Das ist aber nicht der Fall, da a < b. Also ist a² + ab + b² > 0.
Also gilt
f(b) - f(a) = b³ - a³ = (b - a)(a² + ab + b²) > 0 <=> f(a) < f(b)
Gruß
Wenn f'(x)>0 für alle x, dann ist f streng monoton steigend, das ist richtig und auch trivial, die Umkehrung gilt aber nicht, aus der strengen Monotonie folgt nicht zwangsläufig f'(x)>0 für alle x, siehe dein Gegenbeispiel.
Ja eben.
Die Funktion ist streng monoton steigend, obwohl f'(0) > 0 nicht stimmt. Das meinte ich oben mit dem Satz, die Umkehrung des ersten Satzes stimmt nicht. In der Mathematik kommt es häufig vor,
dass ein Satz A => B stimmt, nicht aber B => A.
Die Monotonie einer Funktion ist NICHT über die erste Ableitung definiert.
Die Monotonie ist definiert als:
Für jedes x1 und x2 gilt:
Wenn x1 < x2 dann ist f(x1) <= f(x2).
Das ist bei f(x)=x³ der Fall.
Für die strenge Monotonie gilt:
Für jedes x1 und x2 gilt:
Wenn x1 < x2 dann ist f(x1) < f(x2).
Das ist bei f(x)=x³ ebenfalls der Fall.
Daß die 1. Ableitung bei x=0 Null ist, ändert an den obengenannten Aussagen nichts.
habe echt lange nach einer einfachen Erklärung gesucht. Hier ist sie ja endlich :) Vielen Dank, echt super erklärt!
Mein Problem liegt aber darin dass bei f'(0)=0 ist.