Riesiger Bruch, falsche Lösung?
Hallo, kann mir jemand leicht verständlich erklären, warum bei dieser Aufgabe (s. Bild) am Ende
(x+4) / (a-b) • (x+2)
herauskommt wenn man den Bruch kürzt? Am besten jeden Schritt aufschreiben, damit ich es besser nachvollziehen kann.
Vielen Dank im Voraus!
3 Antworten
Der erste Schritt ...
[a * (x² + 2x - 8) - b * (x² + 2x - 8)] / [x² * (a² - 2ab + b²) - 4 * (a² - 2ab + b²)]
... ist schon fast die Lösung.
Ausklammern, kürzen, Binomen erkennen, darauf kommt es an...
und x² + 2x - 8 = (x + 4) * (x - 2)
Ich machs mal getrennt für Zähler und Nenner:
Zähler:
Klammer "einfach" mal aus den Summanden mit x² dieses x² aus, aus denen mit x das x und beim Rest die 8 (ich habe direkt -8 ausgeklammert), ergibt: x²(a-b)+2x(a-b)-8(a-b)
Hier sieht man, dass (a-b) ausgeklammert werden kann, ergibt: (a-b)(x²+2x-8)
= (a-b)(x-2)(x+4)
Nenner:
x² ausklammern, ergibt: (a²-2ab+b²)x²+8ab-4a²-4b²
hinten -4 ausklammern: (a²-2ab+b²)x²-4(a²-2ab+b²) = (a²-2ab+b²)(x²-4)
=(a-b)²(x-2)(x+2)
Jetzt kann schön gekürzt werden...
Aus Summen kürzen nur die ...! :)
Satz von Vieta: aus der Multiplikation muss sich -8 ergeben und aus der Addition +2.
-8 = -8 * 1 oder 8 * (-1) oder -4 * 2 oder 4 * (-2)
Jetzt testen, welches Paar addiert +2 ergibt. Funktioniert das nicht (bei z. B. +3x), dann muss man tatsächlich die Nullstellen ausrechnen (pq-Formel), um diesen Term zu faktorisieren.
In dem Fall wären das (-4) und (+2). Oben wurden dann aber beim Einsetzen in den Bruch die Vorzeichen vertauscht, also (x-2) • (x+4). Ist es immer so, dass man da die Vorzeichen vertauschen muss?
da kämpfe dich mal selbst tapfer durch;
Tipp
ax²+2ax-8a = a(x²+2x-8)
=
a(x+4)(x-2) Satz von Vieta
Ich habe es versucht und komme ab ( (a-b) + 2x(a-b) -8(a-b) ) / (a^2-2ab+b^2) -4(a^2-2ab+b^2) nicht weiter...
a² - 2ab + b² ist ja schon ne 2. Biom. Formel,
nimm dir ruhig ca 2 Stunden Zeit für alles.
Und wieder einmal top erklärt, vielen Dank! Mein Fehler war, dass ich zu Beginn schon die ausgeklammerten x^2 weggekürzt habe. Genauso wie die -4 und die -8. Aber jetzt sag mir mal, wie man aus (x^2+2x-8) so leicht (x-2) • (x+4) machen kann bitte. Ich erinner mich, dass da was war, aber leider hat's noch nicht geklingelt...