quadratische Funktionen in x-Richtung strecken?
Hallo,
Kann man quadratische Funktionen / Parabeln auch in x-Richtung strecken/stauchen?
Ich kenne bis jetzt nur das Strecken/Stauchen mit dem Streckfaktor „a": f(x)=a(x-d)^2+c
Strecke/ stauche ich mit dieser Formel in x- Richtung oder in y-Richtung? In meinem Buch steht stets: „Strecke in Y-Richtung". Kann man quadratische Funktionen / Parabeln überhaupt in x-Richtung und in y-Richtung strecken/stauchen?
Wie kann ich quadratische Funktionen/Parabeln in x-Richtung strecken, wenn das geht?
Danke für Antworten :)
4 Antworten
Um den Graph einer beliebigen (gar nicht unbedingt quadratischen) Funktion mit dem Faktor k in x-Richtung zu strecken, ersetzt man einfach die ursprüngliche Funktionsgleichung
y = f(x)
durch die neue Gleichung
y = f(x/k)
Ein Beispiel (mit quadratischer Funktion):
y = f(x) = 3x^2 - 5 x + 2
Mit dem Faktor k=2 gestreckt:
y = f(x/2) = 3 (x/2)^2 - 5 (x/2) + 2 = (3/4) x^2 - (5/2) x + 2
Hallo Alex11299
Eine Funktion in y-Richtung mit dem Faktor k zu strecken, heißt: Jeder Funktionswert f(x) muss mit k multipliziert werden. Die dabei entstehende neue gestreckte Funktion ist dann g(x) = k*f(x). Das gilt für beliebige Funktionen, nicht nur für Parabeln.
Beispiel: f(x) = 3x²-5x+2: k= 2; ---> g(x) = k*f(x) = 2(3x²-5x+2) = 6x²-10x+4.
Probe: Für x=3 erhalte ich f(3) = 3*9-5*3+2 = 14 und g(3) = 6*9-10*3+4 = 28, also den doppelten Wert, wie es dem Streckfaktor 2 entspricht.
Eine Funktion in x-Richtung mit dem Faktor k zu strecken, heißt: Jeder x-Wert, der zu einem bestimmten y-Wert der Funktion f(x) gehört, muss mit dem Faktor k multipliziert werden. Um dies zu erreichen, kann man die Funktion nach x umstellen, so dass man x=h(y) erhält. Dann muss man h(y) mit dem Streckfaktor k multiplizieren und kann dann wieder rückumstellen zur neuen in x-Richtung gestreckten Funktion y = i(x)
Beispiel: f(x) = y = 3x²-5x+2; k=2; ---> x²-(5/3)x +2/3 = y/3;
---> x²-(5/3)x + (5/6)² -(5/6)² + 2/3 = y/3; ---> (x-5/6)² = (5/6)²-2/3 +y/3); --->
x = h(y) = 5/6 + Wurzel((5/6)²-2/3+y/3);
Strecken mit k=2: ---> k(y) = 2*h(y) = 5/3 + 2*Wurzel((5/6)²-2/3+y/3).
Rückumstellen auf g(x): k(y) = x = 5/3 + 2*Wurzel((5/6)² -2/3+y/3); --->
x-5/3 = 2*Wurzel((5/6)²-2/3+y/3); --->
(x-5/3)² = 4((5/6)² -2/3+y/3) = (10/6)²-8/3+4y/3; --->
x²-(10/3)x+25/9 -(5/3)²+8/3 = 4y/3; ---> y= (3/4)x²-(5/2)x+2; --->
y = i(x) = (3/4)x² - (5/2)x + 2
Probe: Für x=3 erhalte ich f(x) = 3*9-5*3+2 = 14. für x=3*2=6 erhalte ich entsprechend i(x) = (3/4)*36-(5/2)*6 + 2 = 14, also das gleiche y für das doppelte x bei der um den Faktor 2 in x-Richtung gestreckten Funktion i(x)
Vergleicht man i(x) mit f(x), dann sieht man, dass statt x bei der gestreckten Funktion jeweils x/k, hier x/2, statt x bei der Ausgangsfunktion f(x) steht. Daraus kann man (als Nichtmathematiker) ableiten, dass man eine Funktion in x-Richtung um den Faktor k streckt, wenn man jeden x-Wert durch den Wert x/k ersetzt. Dies hat rumar in seiner Antwort schon mitgeteilt. Das gilt natürlich für alle Funktionen, nicht nur für Parabeln.
Es grüßt HEWKLDOe.
Hallo,
jede Parabel ist achsensymmetrisch zu einer Achse durch den Scheitelpunkt.
Wenn Du sie streckst oder stauchst, betrifft das immer beide Zweige der Parabel in gleicher Weise.
Eine Stauchung oder Streckung längs der x-Achse würde eine Verzerrung bedeuten, so daß die Parabel keine Parabel mehr wäre.
Herzliche Grüße,
Willy
So ist es. Streckt man etwa die "Normalparabel" mit der Gleichung y = x^2 mit dem Streckungsfaktor 3 in x-Richtung, so erhält man als neue Parabel die mit der Gleichung y = (x/3)^2 = (1/9) x^2 .
Dieselbe Kurve erhält man auch, wenn man die ursprüngliche Normalparabel mit dem Streckungsfaktor 1/9 in y-Richtung streckt.
Klar, du musst nur dein x modifizieren, statt
5*x² (=5*(x*1)²) also z.B. 5*(x*3)²
Sorry, Willy, dass ich da widersprechen muss. Die Parabel ist eine Kurve, die sowohl bei zentrischen Streckungen (mit beliebigem Zentrum) als auch bei axialen Streckungen (mit beliebiger Achse, also nichtmal nur horizontal oder vertikal) wieder in eine "richtige" Parabel übergeht.