Punktmengen in der komplexen Zahlenebene skizzieren?
Guten Tag!
Im heutigen Übungsblatt soll ich Punktmengen in der komplexen Zahlenebene skizzieren. Für {z ∈ C | 1 ≤ Re(z) ≤ π, |Im(z)| < 2} war das auch kein Problem (siehe Bild unten).
Aber bei {z ∈ C | |z − (1 + 2i)| ≤ 3} komme ich nicht weiter.. Was hat das mit dem "z-" auf sich? Kann sein, dass ich nur dumm auf dem Schlauch stehe, wäre super nett, wenn mir jemand helfen könnte :)).
Der Betrag von Im(z), also +Im(z) und -Im(z), ja?
also der Betrag von lm(z) ist kleiner 2.. was sagt mir das jetzt?
Analoges Beispiel:
wenn du die gleichung |x|<=2 hast, für welche reellen x werte wird das gelöst?
Achso ich hab die -2 vergessen! Danke
3 Antworten
nichts für ungut aber das Bild ist nicht ganz korrekt.
Der imaginärteil muss von -2 bis +2 gehen, nicht nur von 0 bis +2.
zur eigentlichen aufgabe:
steht doch in der Mengenklammer.
Gemeint sind alle komplexen zahlen z für die der betrag von z-(1+2i) kleiner gleich 3 ist.
z-(1+2i) ist ja einfach auch wieder eine komplexe zahl und von der kann man natürlich den betrag bilden! :-)
konkret würde ich einfach mal z=a+bi ansetzen und den ausdruck umformen:
z-(1+2i)=(a+bi)-(1+2i)
=(a-1)+i*(b-2)
der ausdruck ist also die komplexe zahl die du erhälst wenn du von dem punkt zur zahl z um 2 nach unten und 1 nach links gehst.
es verschiebt sich einfach .
dass der betrag kleiner gleich 3 sein soll, deutet shcon mal auf einen kreis hin.
aber nicht ein normaler kreis mit radius 3 um den ursprung (der wäre |z|<=3)
sondern jenen kreis verschoben.
Habe den Kommentar gerade erst gesehen, vielen Dank! Ja, die Schreibweisen verwirren mich etwas.. Aber ich habe das Prinzip jetzt glaube ich verstanden. Vielen Dank!
Mit z := w + v und w, v aus C ist |w - v| ≤ 3 äquivalent zu |z| ≤ 3, ein Kreis um den Ursprung der komplexen Zahlenebene.
ok verstehe.. also ist es eine Kreisscheibe mit dem Radius 3 um (1+2i). Alle komplexen Zahlen, die |z − (1 + 2i)| ≤ 3 (und damit Wurzel aus ((x-1)^2+(y-2)^2)) erfüllen, liegen in der Scheibe.. Ist das so richtig? Zeichne ich dann ins Koordinatensystem einfach einen Kreis mit Radius 3 um die Koordinaten Re(z)=1, Im(z)=2?
Der Kreis von |w - v| ≤ 3 (vgl. Kommentare):
- Erzeugung von 1000 zufälligen komplexen Zahlen, von denen jeweils die komplexe Zahl 1+2i abgezogen wird, inklusive zufällige Bildschirmausgabe dreier von eintausend Zwischenergebnissen.
- Anordnung des jeweils realen und imaginären Anteils als 2-dimensionaler Vektor, inklusive zufällige Bildschirmausgabe dreier von eintausend Zwischenergebnissen.
- Darstellung aller zufällig generierter Vektoren bzw. komplexer Zahlen, derer Betrag kleiner oder gleich 3 ist.
Wolfram Language Code (Wolfram Cloud App oder Mathematica Online), Zeilen starten mit SHIFT-RETURN (auf alphanumerischem Block) oder ENTER (auf numerischem Block).
Hilft Dir das?
war das auch kein Problem
Ok
|Im(z)|
Betrag gesehen?
z-
z ist eine komplexe Zahl, z Element C
|z − (1 + 2i)|
≤ 3
Du sollst hier etwas über den Betrag der komplexen Zahl aussagen.
stell dir am besten einfacher vor, statt (a-1)+i*(b-2) hättest du den vektor
((a-1),(b-2)) aus R^2.
Wie würdest du Alle as und bs bestimmen sodass der Betrag des vektors <=3 ist?
Ganz primitiv mit pythagoras:
|((a-1),(b-2))|=Wurzel((a-1)^2+(b-2)^2)<=3
Das einzuzeichnen überlasse ich dir.
Ist wie erwähnt einfach ein verschobener Kreis.
im Endeffekt sehen die komplexen zahlen zwar eindrucksvoll aus aber wenns ums zeichnen oder generell die komplexe ebene geht, werkelst du im Endeffekt einfach mit vektoren (Re(z),Im(z)) aus R^2.
Mit den üblichen gesetzmässigkeiten :-)