Punkt der von 3 Punkten gleichweit entfernt ist?
Stellen wir uns vor, wir zeichnen 3 Punkte in ein Koordinatensystem (zwei oder dreidimensional). Welche Eigenschaft müssen diese Punkte erfüllen, damit es einen Punkt gibt, der von allen 3 Punkten gleich weit entfernt ist? Wenn die 3 Punkte auf einer Geraden liegen, dann ist das meines Erachtens nicht möglich, gibt es noch weitere Kriterien?
5 Antworten
Nö, das ist das einzige Kriterium.
Streng genommen dürfen die 3 auch auf einer Geraden liegen, wenn es keine drei verschiedenen Punkte sein müssen. Aber das ist nur eine Spitzfindigkeit.
Wenn es keine drei paarweise verschiedenen Punkte sein müssen, um ganz genau zu sein.
Funktioniert immer, wenn die 3 Punkte nicht auf einer Linie liegen, sondern ein „echtes“ Dreieck bilden.
Der gemeinsame Schnittpunkt der 3 Mittelsenkrechten der Verbindungslinien zwischen den 3 Punkten liefert den gesuchten Punkt.
Dieser Punkt ist auch gleichzeitig der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
Mit nur 3 Punkten fällt mir jetzt auch keine andere Situation ein.
Alles außer die Gerade ergibt ein Dreieck. Ob 2d oder 3d-Koordinatensystem, spiel keine Rolle, da das Dreieck immer eine Fläche (und somit 2d) ist.
Solange du ein Dreieck hast, hast du auch einen Punkt, der von allen anderen Punkten gleich weit entfernt ist.
Dieser Punkt muss nicht zwangsläufig innerhalb des Dreiecks liegen.
Bei 3D hast du sogar mehrere Punkte bzw. eine Gerade(? oder doch Kurve?), wo jeder Dreiecks-Punkt gleich weit entfernt ist..
Solange sich aus den drei Punkten ein Dreieck konstruieren lässt (d.h. wenn sie, wie du schon sagst, nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen) gibt es auch einen Umkreismittelpunkt dieses Kreises (der dem Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks entspricht), der dann von allen drei Punkten gleich weit entfernt ist.
Wie gesagt, die Mittelsenkrechten konstruieren und deren Schnittpunkt bestimmen. Das ist einfach und effektiv. Da drei Punkte immer auf einer gemeinsamen Ebene liegen, tust du dir mit Kugeln zu viel an.
Kurze Frage, funktioniert das auch mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden?
Okay habs getestet, über die Winkelhalbierenden kommt man nur auf den Schwerpunkt des Dreiecks
Nope. Die Gerade wäre das einzige, was eine entsprechende Konstruktion ausschließt würde ich sagen
Okay, und gibt es irgendeinen Weg, diesen Punkt zu bestimmen, wenn ich die Ortsvektoren der Punkte kenne? Meine Idee wäre vielleicht, Kugelgleichungen zu erstellen und gleichzusetzen, das klingt aber ziemlich aufwendig