Problem bei Aufgaben zur Rekonstruktion ganz rationaler Funktionen?
Ich habe eine Hausaufgabe meines Mathelehrers, für eine Ausgefallen Mathestunde, bekommen und habe keinerlei Ansätze zur Lösung dieser.
Die Aufgabestellung lautet wie folgt:
Ein Spielzeughersteller hat beim Umzug in ein größeres Werk den Bauplan für die Brückenauffahrt seiner Spielzeugeisenbahn verloren. Anhand eines noch vorhandenen Modells der Auffahrt kann eine Höhe von 6cm und eine Länge von 22cm gemessen werden. Außerdem ist bekannt, dass die Auffahrt in ihren Rändern eine waagerechte Steigung besitzt und sich durch eine symmetrische Funktion dritten Grades ausdrücken lässt.
Ermitteln Sie eine geeignete Funktionsgleichung zur Beschreibung der Profillinie der Brückenauffahrt.
Und:
Eine ganz rationale Funktion dritten Grades hat im Ursprung die Steigung 3 und berührt die x-Achse bei x0 = 4.
Bestimmen Sie die zugrundeliegende Funktionsgleichung.
Bei beiden Aufgaben bin ich nicht in der Lage genügend Informationen rauszusuchen um ein dementsprechendes Gleichungssystem aufstellen zu können und wollte hier um Hilfe suchen.
Vielem Dank im Voraus !
3 Antworten
[...] durch eine symmetrische Funktion dritten Grades ausdrücken lässt.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f(–x) = –f(x)
[...] Höhe von 6cm und eine Länge von 22cm [...
Definitionsmenge D = [–11, 11]
f(0) = 0
f(–11) = –3
f(11) = 3
[...] Auffahrt in ihren Rändern eine waagerechte Steigung [...].
f'(–11) = 0
f'(11) = 0
___
Rechnungen:
___
f(0) = 0 <=> d = 0
___
f(11) = a•11³ + b•11² + c•11 = 3
f(–11) = a•(–11)³ + b•(–11)² + c•(–11) = –3
=> 0 = 2b•11² <=> b = 0
___
f(–x) = –f(x) <=> –ax³ – cx = –(ax³ + cx)
___
f'(11) = 0 <=> 3a•11² + c = 0
<=> c = –3a•11²
___
f(11) = a•11³ + c•11 = 3
=> a•11³ –3a•11²•11 = 3 <=> a = 3/(–2•11³)
=> c = –3(3/(–2•11³))•11² = 9/22
___
f(x) = –3/2662 x³ + 9/22 x
_____________
Eine ganz rationale Funktion dritten Grades [...].
g(x) = ax³ + bx² + cx + d
[...] hat im Ursprung die Steigung 3 [...].
g(0) = 0
g'(0) = 3
[...] und berührt die x-Achse bei x0 = 4.
g(4) = 0
g'(4) = 0
___
Rechnungen:
___
g(0) = 0 <=> d = 0
___
g'(0) = 3 <=> c = 3
___
g(4) = 0 <=> a•4³ + b•4² + 3•4 = 0
g'(4) = 0 <=> 3a•4² 2b•4 + 3 = 0
<=> a(4³–3•4²) + b(4²–2•4) + 9 = 0
<=> 16a + 8b + 9 = 0 <=> a = –(9+8b)/16
___
g(4) = 0 <=> a•4³ + b•4² + 12 = 0
=> 0 = –(9+8b)/16•4³ + 16b + 12 = 0
<=> 0 = –4(9+8b) + 16b + 12 = 0
<=> 0 = –16b – 24 <=> b = –3/2
=> a = –(9+8(–3/2))/16 = 3/16
___
g(x) = 3/16 x³ – 3/2 x² + 3x
Bitteschön :)
Jetzt ist alles richtig
Zur zweiten Aufgabe:
berührt die x-Achse bei x=4 --> doppelte Nullstelle, also Faktor (x-4)² in der Funktion
Steigung im Ursprung --> Ursprung ist Nullstelle: also x*(x-4)²
Damit hat man:
Ableitung davon:
Also lautet die gesuchte Funktion
Bei beiden Aufgaben bin ich nicht in der Lage genügend Informationen rauszusuchen um ein dementsprechendes Gleichungssystem aufstellen zu können und wollte hier um Hilfe suchen.
Dann schreib doch mal hin, welche Informationen Du jeweils rauslesen konntest.
Zur zweiten Aufgabe:
f(4)= 0 weil wir dort eine Nullstelle haben
Da steht, dass die x-Achse dort berührt wird. Also doppelte Nullstelle, also Steigung = 0.
Zur ersten Aufgabe: richtig, sie ist Achsensymetrisch.
Die Steigung (Auffahrt) beginnt an der Stelle x=0 und endet an der Stelle x=22.
Steigung an diesen Stellen ist jeweils 0.
Fubktionswert an der Stelle x=0 wird Null sein, an der Stelle x=22 wird er 6 sein.
Ok, diese 4 Sachen sehe ich jetzt auch.
Jetzt macht das ganze in meinem Kopf auch endlich Sinn.
Vielen vielen lieben Dank an dich, dass du dir die Zeit genommen hast mir bei der Aufgabe zu helfen!
Bei der ersten bin in Unfähig auch nur eine rauszusuchen, außer dass ich hier, aufgrund der Symmetrie, nur 2 Informationen benötige.
bei der Zweiten konnte ich 3 ermitteln
1. f(0)=0 weil die Funktion durch den Koordinaten Ursprung geht
2. f'(0)=3 die erste Ableitung ist im Ursprung, aufgrund der Steigung von 3, gleich 3
3. f(4)= 0 weil wir dort eine Nullstelle haben
Hier ist ja nicht gegeben, dass es sich um eine Symmetrische Funktion handelt, weshalb ich der Auffassung bin, dass ich 4 Information verarbeiten muss.