Potenzfunktion x-Werte finden?
Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Wie muss ich vorgehen um herauszufinden wie viele x-Werte es für die bestimmten Funktionswerte gibt.
Die Aufgabe sollte ohne Taschenrechner usw. zu lösen sein.
3 Antworten
a)
2(x - 1)^4 + 3 = 5
(x - 1)^4 = 1
Hier kann x - 1 entweder -1 oder +1 werden. Daraus ergeben sich die beiden Lösungen x = 0 und x = 2.
b)
2(x - 1)^4 + 3 = 3
(x - 1)^4 = 0
Hier kann x nur 1 sein, sonst wird das größer als 0.
Das Lösen der Gleichung f(x)=y ist immer der beste Weg, wenn man nicht weiter weiß. Man kann aber am Funktionsterm erkennen, um was für eine Art von Funktion es sich handelt.
Hier sieht man, dass es sich um eine verschobene Potenzfunktion handelt. Für gerade Exponenten handelt es sich immer um eine Parabel mit einem Minium, das genau einmal angenommen wird (bzw. Maximum, falls nach unten geöffnet). Dieses entspricht in dieser Form der Verschiebung auf der y-Achse, also 3. Alle Werte darunter werden nie angenommen, alle darüer zweimal, da die Parabel symmetrisch zur y-Achse ist.
Bei ungeraden Exponenten wird jeder Wert genau einmal angenommen.
Das gilt aber nur für (verschobene) Potenzfunktionen. Bei allgemeineren Polynomen kann es wesentlich komplexer sein.
Funktion: f(x) = 2(x - 1)^4 + 3
Vorgehen
- Setze den gesuchten Funktionswert ein: f(x) = y.
- Löse 2(x - 1)^4 + 3 = y auf => (x - 1)^4 = (y - 3)/2.
- Prüfe das Ergebnis: Ist (y - 3)/2 >= 0 ? Wenn ja, gibt es reelle Loesungen.
- (x - 1)^4 = 0 => genau 1 Lösung (x=1).
- (x - 1)^4 = a > 0 => 2 Lösungen (x - 1 = +sqrt( sqrt(a) ) oder -sqrt( sqrt(a) ), sinngemäß).
- (x - 1)^4 < 0 => keine reelle Loesung.
Beispiele
a) f(x)=5
2(x - 1)^4 + 3 = 5 => 2(x - 1)^4 = 2 => (x - 1)^4 = 1 => x - 1 = +1 oder -1 => x=0 oder x=2
Anzahl x-Werte: 2
b) f(x)=3
2(x - 1)^4 + 3 = 3 => 2(x - 1)^4 = 0 => (x - 1)^4 = 0 => x=1
Anzahl x-Werte: 1
c) f(x)=-7
2(x - 1)^4 + 3 = -7 => 2(x - 1)^4 = -10 => (x - 1)^4 = -5 (unmoeglich im Reellen)
Anzahl x-Werte: 0