Potentielle Energie eines Kraftfelds berechnen?

"In einem Kraftfeld sei die potentielle Energie gegeben als E_pot(r)=E_0*root(x^2+y^2) mit E_0=1J/m. (r ist hier als Vektor zu sehen)

Berechnen Sie jeweils die x-, y- und z-Komponente der Kraft bei x = 8, y = 5,2, z = 1,1"

Wie genau macht man das?

Answer 1

[mihisu]

Bei einem (konservativen) Kraftfeld erhält man die Kraft als Gegenvektor zum Gradient der potentiellen Energie.

$\vec{F}=-\vec{\nabla}E_\text{pot}=\begin{pmatrix}-\frac{\partial}{\partial x}E_\text{pot}\\-\frac{\partial}{\partial y}E_\text{pot}\\-\frac{\partial}{\partial z}E_\text{pot}\end{pmatrix}$

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Im konkreten Fall ist...

$E_\text{pot}=E_0\cdot \sqrt{x^2+y^2}$

$F_x=-\frac{\partial}{\partial x}E_\text{pot}=-E_0\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$F_y=-\frac{\partial}{\partial y}E_\text{pot}=-E_0\cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$F_z=\frac{\partial}{\partial z}E_\text{pot}=0$

[mit E₀ = 1 J/m]

Am Ort (x; y; z) = (8; 5,2; 1,1) ist dann dementsprechend...

$F_x=-1\,\frac{\text{J}}{\text{m}}\cdot \frac{8}{\sqrt{8^2+{5,2}^2}}\approx -0\text{,}84\,\frac{\text{J}}{\text{m}}=-0\text{,}84\,\text{N}$

$F_y=-1\,\frac{\text{J}}{\text{m}}\cdot \frac{5\text{,}2}{\sqrt{8^2+{5,2}^2}}\approx -0\text{,}54\,\frac{\text{J}}{\text{m}}=-0\text{,}54\,\text{N}$

$F_z=0\,\text{N}$

Für die gesuchte Kraft erhält man demnach also...

$\vec{F}\approx \begin{pmatrix}-0\text{,}84\,\text{N}\\-0\text{,}54\,\text{N}\\0\,\text{N}\end{pmatrix}$

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Siehe beispielsweise auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Potentielle_Energie#Formale_Definition

https://de.wikipedia.org/wiki/Potentielle_Energie#/media/Datei:Uebersicht_konservative_Kraftfelder.svg