Polynomfunktion?

Hallo,

Ich habe zwei Fragen (mehrere kleine) und wäre sehr glücklich, wenn mir jemand diese beantworten kann.

Erstmal wollte ich etwas zu den sogenannten Polynomfunktionen fragen. Gibt es irgendeine Möglichkeit zu erkennen, wie die Polynomfunktion ab x hoch 3 (oder 8, generell höheren Werten) verlaufen müsste? Ich habe gelesen, dass man sich beim Verlauf an derjenigen Zahl vor dem X orientiert soll, die die größte Potenz hat. Geht das so einfach? Gibt es hierbei irgendwelche Tipps?

2. Grenzwert bestimmen. Ich habe folgendes Problem. Angenommen, ich habe die funktion x hoch 8 – x hoch 15 und ich möchte die maximale Definitionsmenge bestimmen. Also erfahren, welche Werte für f(x) nicht rauskommen können, wie gehe ich jetzt am besten vor (wenn ich es mir nicht bildlich aufzeichnen kann). Bei einer quadratischen Funktion kann man das einfach am Scheitelpunkt ablesen, kann man das hier irgendwie auch machen? Vielleicht durch die Ableitung mit Hoch und Tiefpunkten?

Ich danke ganz herzlich!

Answer 1

[Rhenane]

Da Polynomfunktionen höheren Grades (über Grad 2) unterschiedlich viele Extrem-/Wendepunkte haben können, kann man deren Verlauf anhand des Funktionsterms in der Regel nicht beschreiben - außer es handelt sich nur um "Monome", d. h. der Funktionsterm besteht nur aus dem einen Glied a*x^n.

Bzgl. der Wertemenge (die meintest Du als du Definitionsmenge geschrieben hast), kann man sagen, dass bei Funktionen ungeraden Grades immer der gesamte Zahlenbereich gilt (in der Regel die reellen Zahlen R), denn bei ungeraden Graden kommen die Graphen von unten und laufen nach oben weg (oder umgekehrt, je nach Vorzeichen des Koeffizienten der höchsten x-Potenz).

Bei Funktionen geraden Grades laufen die Graphen dahin zurück wo sie hergekommen sind, d. h. zur Bestimmung des Wertebereichs musst Du entweder den "tiefsten Tiefpunkt" (wenn der Graph nach oben geht) oder den "höchsten Hochpunkt" (wenns links und rechts nach unten geht) über die Ableitungen ermitteln, um die untere bzw. obere Grenze des Wertebereichs angeben zu können. Die andere "Grenze" ist plus- bzw. minus-unendlich.

Answer 2

[evtldocha]

Ich habe gelesen, dass man sich beim Verlauf an derjenigen Zahl vor dem X orientiert soll, die die größte Potenz hat. Geht das so einfach? Gibt es hierbei irgendwelche Tipps?

Tipps dazu gibt es nicht - nur Überlegungen was da herauskommen muss.

Das bezieht sich auf das sogenannten "Globalverhalten" oder anders: Den Grenzwert für x gegen +∞ oder x gegen -∞. Hier braucht man tatsächlich nur den höchsten Exponenten und dessen Koffzienten beachten, das dieser Term "alles dominiert" wenn x nur genügend groß oder klein. Ich schreibe mal für den Term mit dem höchsten Exponenten und dessen Koeffzienten

$a_n\cdot x^n$

Dann kann man zuerst unterscheiden ob n gerade oder ungerade ist und in jedem der Fälle dann wieder, ob a_n >0 oder a_n < 0 ist ( a_n = 0 ist ausgeschlossen)

(1.) Fall n gerade und a_n >0:

$\lim_{n→−∞}​f(x)=\lim_{n→+∞}​f(x)\ →\ +∞$

(2.) Fall n gerade und a_n <0:

$\lim_{n\to-\infty}f\left(x\right)=\lim_{n\to+\infty}f\left(x\right)\ \to-\infty$

(3.) Fall n ungerade und a_n >0:

$\lim_{n\to-\infty}f\left(x\right)\to-\infty;\ \lim_{n\to+\infty}f\left(x\right)\to+\infty$

(4.) Fall n ungerade und a_n <0:

$\lim_{n→−∞}​f(x)\ →\ +∞;\lim_{n→+∞}​f(x)→-∞$

Angenommen, ich habe die funktion x hoch 8 – x hoch 15 und ich möchte die maximale Definitionsmenge bestimmen.

Polynomfunktionen (aka: ganzrationale Funktionen) haben stets als Definitionsmenge die reellen Zahlen (𝔻 = ℝ). In dieser Frage gibt es nichts zu rechnen. Schwieriger ist die Frage der Wertemenge. Wie oben schon ist hier zu unterscheiden, ob a_n > 0 oder a_n < 0 ist.

(1.) Fall a_n < 0: Die Wertemenge ist stets die Gesamtheit der reellen Zahlen: 𝕎 = ℝ

(2.) Fall a_n > 0: Das ist der schwierigere Fall, denn hier muss man ein globales Minimum finden und das ist im allgemeinen der Funktionsvorschrift nicht anzusehen und wird in der Regel mit Methode der Differentialrechnung bestimmt.

Answer 3

[babitsch]

Geht das so einfach?

Ja, so einfach geht das wenn man dabei das Vorzeichen beachtet.