Parameter des Linearen Gleichungssystems?
Hallo, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe eventuell weiterhelfen?
Normalerweise nutzt man hierbei ja das Gauß-Verfahren, aber das ist hier ziemlich kompliziert umzusetzen. Daher könnte mir jemand eventuell helfen?
Danke und liebe Grüße :)
Kennst Du die Cramersche Regel zum Lösen linearer Gleichungssysteme?
nee kannte ich vorher tatsächlich nicht. Vielen Dank :)
2 Antworten
Mit einiger Anstrengung geht das auch ohne Determinanten (Cramersche Regel).
kx1 + x2 + x3 = 1 [1]
x1 + kx2 + x3 = 1 [2]
x1 + x2 + kx3 = 1 [3]
Als erstes fällt auf, dass im Fall k = 1 die drei Gleichungen identisch sind. Dann gibt es unendlich viele Lösungen.
Daher betrachten wir jetzt nur noch den Fall k != 1.
[2] und [3] mit k multipliziert:
kx1 + k²x2 + kx3 = k
kx1 + kx2 + k²x3 = k
davon jeweils [1] subtrahiert
(k²-1)x2 + (k-1)x3 = (k-1)
(k-1)x3 + (k²-1)x3 = (k-1)
jeweils durch (k-1) dividiert (dritte binomische Formel beachten)
(k+1)x2 + x3 = 1 [4]
x2 + (k+1)x3 = 1 [5]
[5] mit (k+1) multipliziert
(k+1)x2 + (k+1)²x3 = (k+1)
davon [4] subtrahiert
((k+1)² - 1)x3 = k
(k² + 2k)x3 = k [6]
Bevor wir [6] durch k dividieren, müssen wir untersuchen, was bei k = 0 passiert.
Aus dem Gleichungssystem wird dann
x2 + x3 = 1
x1 + x3 = 1
x1 + x2 = 1
Das ist eindeutig lösbar: x1 = x2 = x3 = 1/2.
Für k != 0 dividieren wir [6] durch k.
(k + 2)x3 = 1
Für k = -2 gibt es keine Lösung, ansonsten ist das eindeutig lösbar.
Zusammenfassung:
Für k = 1 gibt es unendlich viele Lösungen, für k = -2 gibt es keine Lösung.
Für alle anderen k ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
