Parallelogramm beweisen?
Es wird behauptet, dass die Punkte A(1/1); B(5/2); C(2/4); D(6/5) als Viereck ABCD ein Parallelogramm darstellen. WIe kann man diese Aussage mit Hilfe von Vektoren überprüfen?
Danke :))
4 Antworten
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Prüfe das nun nach und beweise/widerlege, dass ABCD ein Parallelogramm darstellt.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :)
LG Willibergu
Schlag die Definition eines Parallelogramms nach und zeige, dass sie erfüllt bzw. nicht erfüllt ist.
Tipp: Mach dir zuerst eine Skizze, um zu sehen, ob es ein Parallelogramm ist, oder nicht.
Nun, du weißt ja sicher, was ein Parallelogramm ist?
Es ist ein Viereck, bei dem ihre zwei Seiten parallel sein müssen.
Wie man das mit Vektoren beweisen kann?
Nun, gegeben sei wir hätten 4 Vektoren, von der jeder jeweils eine Seite beschreibt, dann müssten je jeweils zwei von den vieren ja in dieselbe Richtung zeigen, wenn es sich tatsächlich um ein Parallelogramm handeln sollte, oder?
Mit anderen Worten, sie wären linear abhängig.
Nicht nur das, sie müssten auch die gleiche Länge haben, denn in einem Parallelogramm können die 2 gegenüberliegenden Seiten ja nur gleich lang sein.
Stellen wir also zunächst Vektoren für die 4 verschiedenen Seiten auf:
AB = (5/2) - (1/1) = (4/1) [Dies beschreibt einen Vektor. Keinen Punkt. Eigentlich müssten die 4 und die 1 übereinander stehen.. du weißt schon... so werden Vektoren dargestellt.. ich weiß aber nicht, wie das in der Formatierung hier klappen soll, also stell dir das einfach übereinander geschrieben vor... nur damit du Bescheid weißt.)
AC = (2/4) - (1/1) = (1/3)
BD = (6/5) - (5/2) = (1/3)
CD = (6/5) - (2/4) = (4/1)
Und wir kriegen tatsächlich jeweils zwei gleiche Vektoren für die beiden jeweils gegenüberliegenden Seiten.
AB = CD = (4/1)
BD = CD = (1/3)
So, ich denke und jetzt hättest du es bewiesen.
AB ist parallel zu CD, und AD ist parallel zu BC. Stimmt eines davon nicht, ists kein Parallelogramm.
Hey, Willi!
Das ist richtig, aber die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten genügt. Daraus ergibt sich bereits, dass die Seiten gleichlang sind, weswegen dies nicht extra überprüft werden muss.