Vektoren / Quadrat / Punkt C bestimmen?
Hallo zusammen, ich habe eine Frage bei der ich nicht weiter komme.
Zeigen sie, dass es zu den Punkten A(-2/2/3), B(2/10/4) und D(5/-2/7) einen Punkt C gibt, sodass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. Bestimmen sie die Koordinaten von C.
Danke für die Hilfe! :)
2 Antworten
Ortsvektor von B + Vektor <AD>
Einen Vektor berechnet man mit Endpunkt minus Anfangspunkt.
Dann hast du C.
Quadrat kann man z.B. dadurch beweisen, dass die Sklalarprodukte der nebeneinander liegenden Seiten gleich Null sind.
1) zuerst ein Quadrat zeichnen mit den Punkten A,B,C,D (entgegen dem Uhrzeigersinn)
2) aus der Zeichnung erkennt man,das die beiden Richtungsvektoren der Geraden AB und der Geraden AD eine 90° Winkel bilden.
Dazu muß das Skalarprodukt a*b=ax+by+ay*by+az*bz=0 sein
Gerade AB m1(x1/my1/mz1)
Gerade AD m2(x2/y2/z2)
m1*m2=x1*x2+y1*y2+z1*z2=0 dann bilden die beiden Geraden AB und AD einen 90° Winkel.
3) Schnittpunkt der beiden Geraden BC und DC ergibt den Punkt C.
Ermitteln der Geraden AB
(2/10/4)=(-2/2/3)+1*(m1x/m1y/m1z)
x-Richtung m1x=(2-(-2))/1=4
y-Richtung m1y=(10-2)/1=8
z-Richtung m1z=(4-3)/1=1
Gerade AB x=(-2/2/3)+r*(4(8/1) → m1(4/8/1)
Ermitteln der Gerade AD
(5/-2/7)=(-2/2/3)+1*(m2x/m2y/m2z)
x-R. m2x=(5-(-2))/1=7
y-R. m2y=(-2-2)/1=-4
z-R. m2z=(7-3)/1=4
Gerade AD x=(-2/2/3)+s*(7/-4/4) → m2(7/-4/4)
m1*m2=4*7+8*(-4)+1*4=28-32+4=0 also stehen AB und AD senkrecht aufeinander
Schnittpunkt der beiden Geraden DC und BC ergeben C(cx/cy/cz)
DC x=(5/-2/7)+r*(4/8/1)
BC x=(2/10/4)+s*(7/-4/4)
gleichgesetzt
(5/-2/7)+r*(4/8/1)=(2/10/4)+s*(7/-4/4)
Den Rest schaffst du selber.
Prüfe auf Rechen und Rechenfehler.