Nullstelle?
Hi
ich bin gerade am mathe lernen und habe eine Übungsaufgabe
f(x)= xhoch3-6xhoch2+9x-4
So und davon wollte ich die nullstellen berechnen jetzt bin ich mir nicht sicher wenn ich das x ausklammere damit ich die pq formel anwenden kann ob die -4 mit in die klammer kommt.
Ich habe es jetzt einmal mit und einmal ohne gemacht habe dadurch.
9 und 1 raus
oder
3 und 3
Was ist jetzt richtig ?
3 Antworten
f(x) = x³ - 6x² + 9x - 4
Man kann die erste Nullstelle mit Probieren lösen (oder der cardanischen Formel :-) lösen. Man fängt mit 0,1, -1, 2, -2, 3, -3 etc. an. 1 klappt schon mal. Jetzt teilen wir den Ausdruck durch (x - 1), weil jedes Polynom mit entsprechenden Nullstellen als
(x - n0) * (x - n1) * (x - n2) * .... (x - nm) dargestellt werden kann, denn die Nullstellen müssen einen Faktor zu Null machen können.
Also
(x³ - 6x² + 9x - 4) : (x - 1) = x² - 5x + 4
-x³ + x²
-5x² + 9x - 4
+5x² - 5x
4x - 4
Wir haben also die äquivalente Darstellung (x³ - 6x² + 9x - 4) = (x - 1) * ( x² - 5x + 4)
Wir prüfen die Nullstellen von (x² - 5x + 4) mit pq-Formel, quadratischer Ergänzung oder wir sehen es direkt, dass x = 1 wieder funktioniert. Also teilen wir nochmals
(x² - 5x + 4) : (x - 1) = x - 4
-x² + x
-4x + 4
Damit ist (x³ - 6x² + 9x - 4) = (x - 1)² * (x - 4) und wir haben eine doppelte Nullstelle bei x = 1 und eine bei x = 4.
Test (x² - 2x + 1) * (x - 4) = x³ - 2x² + x - 4x² + 8x - 4 = x³ - 6x² + 9x - 4
:^)
Hoffentlich ist es das, wonach du gesucht hast
Setze mal 2 ein:
2³ - 6 * 2² + 9 * 2 - 4 = 8 - 24 + 18 - 4 = 26 - 28 ungleich 0
Verschont mich mit ChatGP und sonstiger künstlicher Dummheit
(5-3)/2 = 2? Nein = 1
Typisch ChatGPT. Es fängt ganz erfolgversprechend an, und dann ist plötzlich (5 - 3) / 2 = 2.
Da kenne ich auch andere abschreckende Beispiele.
Polynomdivision ist das Stichwort
Nein, bei Funktionen 3. Grad höher immer die Polynomdivision anwenden, es sei denn es existiert kein Wert für d, dann kannst du ein X Ausklammern und dann die P-Q Formel anwenden
Man braucht in der Praxis normalerweise nur die Teiler des absoluten Glieds zu testen:
1, -1, 2, -2, 4, -4