Muss ich die Klammern auflösen?
Muss ich um Aufgabe 8 lösen zu können vorher die Klammern auflösen? Bei a verstehe ich schon nicht wie das geht
7 Antworten
Klammern auflösen ist ganz und gar nicht sinnvoll, sogar kontraproduktiv !
Beispiel von mir : Im Gegenteil bei x² +x - 12 = [ (x-3)(x+4) ] erkennt man gerade nicht , dass die Nullstellen bei +3 und 4 liegen
Es ist eher sinnvoll aus x² +x - 12 die sogenannte faktorisierte Form (x-3)(x+4) herzustellen .
deine aufgabe
bei k(x) suchst du den Graphen , der bei +1 eine doppelte Nullstelle hat, also die x-Achse nur berührt. Und keine weitere NSt.
Auch wenn es wegen der Flachheit der Kurve schwer erkennbar ist, trifft das nur auf C zu .
Wenn man a ) auflösen möchte:
f(x) = (x - 1)(x + 2)²
In der hinteren Klammer hast du eine binomische Formel, ausrechnen und das komplette Ergebnis mit der 1. Klammer multiplizieren. Und dann schauen, ob man noch was zusammenfassen kann.
f(x) = (x - 1)[(x + 2)²]
= (x - 1)[x² + 4x + 4]
= x³ + 4x² + 4x - x² - 4x - 4
Hier kann man noch was zusammen fassen:
4x² - x² = 3x²
und
4x - 4x = 0
f(x) = x³ + 3x² - 4
Die Polynomfunktionen sind jeweils in Lineafaktorzerlegung angegeben. [Naja, bis auf h. Aber bei h kann man selbst noch schnell mit dritter binomischer Formel x² - 1 weiter in (x - 1)(x + 1) zerlegen.] Daraus kann man die Nullstellen und ihre jeweilige Vielfachheit ablesen.
Beispielsweise ist f(x) = (x - 1)(x + 2)² angegeben. Daraus kann man ablesen, dass die Funktion f eine einfache Nullstelle bei x = 1 und eine doppelte Nullstelle bei x = -2 hat. Der Graph schneidet die x-Achse also an der Stelle x = 1 und berührt die x-Achse an der Stelle x = -2. Dazu passt die mit (B) beschriftete Skizze.
Die anderen Funktionen kann man analog ihren Graphen zu ordnen.
Zum Vergleich:
- f ↔ B
- g ↔ D
- h ↔ A
- k ↔ C
Wie meinst du das mit dem „ein bisschen anders Aussehen“?
Meinst du die Faktoren 0,5 bzw. 0,2? Die sorgen für eine Streckung/Stauchung in y-Richtung. (Hier für eine Stauchung, da die Faktoren kleiner als 1 sind.)
Ansonsten hat man auch bei h und k, wie bei f und g, die Funktionsgleichung quasi in Linearfaktorzerlegung dastehen. Naja, zumindest fast. Bei h hat man noch nicht ganz die Linearfaktorzerlegung dastehen. Man kann aber noch x² - 1 in (x - 1)(x + 1) zerlegen, um die Linearfaktorzerlegung zu erhalten.
h(x) = 0,5 x (x - 1) (x + 1)
Wobei man x auch als x - 0 schreiben kann, wenn man möchte. Allerdings spart man sich das „- 0“ da meistens einfach, da Subtraktion von 0 nichts ändert und der Term dann kürzer ist. Wenn man möchte kann man aber eben auch
h(x) = 0,5 (x - 0) (x - 1) (x + 1)
schreiben.
Als Hinweis, wie sich die Vielfachheit einer Nullstelle am Funktionsgraphen bemerkbar macht ...
- Einfache Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse.
- Doppelte Nullstelle: Der Graph berührt die x-Achse. (Der Graph hat einen lokalen Extrempunkt an der entsprechenden Stelle.)
- Dreifache Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse. (Und der Graph hat einen Sattelpunkt an der entsprechenden Stelle.)
- k-fache Nullstelle mit gerader Zahl k: Der Graph berührt die x-Achse. (Der Graph hat einen lokalen Extrempunkt an der entsprechenden Stelle.)
- k-fache Nullstelle mit ungerade Zahl k > 1: Der Graph schneidet die x-Achse. (Und der Graph hat einen Sattelpunkt an der entsprechenden Stelle.)
Es ist sinnvoll, die Klammern nicht aufzulösen. Durch die Polynomdarstellung hast Du die Nullstellen gegeben. Diese musst Du in den grafischen Darstellungen der Funktionen suchen. In manchen Fällen liegen doppelte Nullstellen vor. So findest Du z.B. f in Darstellung B wieder.
Anhand der Klammern kannst du erkennen wo die Nullstellen liegen und anhand des Hoch 2, dass es doppelte Nullstellen sind - Du musst prinzipiell nichts ausrechnen.
h und k sehne ja ein bisvhen anders aus als die anderen beiden. Was bedeutet das?