Matherätsel, kann jemand helfen?
Hallo,
kann mir bitte jemand helfen dieses Matherätsel zu lösen?
Für welche natürlichen Zahlen unter 100, die erst mit sich selbst multipliziert werden und deren sich dadurch ergebendes Produkt um 81 vermindert wird, ist das Ergebnis dieser Differenz durch 100 teilbar?
Bilde das Produkt von allen gefundenen Zahlen ausser der höchsten gefundenen Zahl, die diese Bedingung erfüllen.
Ziehe davon 22 mal die höchste gefundene Zahl ab, die diese Bedingung erfüllt, und addiere dazu 48.
Diese Zahl ist X.
Wer hat Plan wie man all dies rechnet und kann die Lösungszahl X schreiben?
Gruß S
8 Antworten
Ich weiß nicht wie man das rechnet, aber ich weiß wie man das programmiert.
CLS
FOR z = 1 TO 99
w = z * z - 81
IF (w / 100) = INT(w / 100) THEN PRINT z
NEXT z
END
Führt man das aus, dann erhält man erst mal folgende Zahlen :
9
41
59
91
Produkt dieser Zahlen, außer der höchsten gefundenen Zahl :
9 * 41 * 59 = 21771
Ziehe davon 22 mal die höchste gefundene Zahl ab :
21771 - 22 * 91 = 19769
Addiere 48 hinzu :
19769 + 48 = 19817
19817 ist die gesuchte Zahl.
Ok, prima ;-)) !
Leider weiß ich nicht, wie man das mathematisch, d.h. ohne Computer angeht.
Ich nutze für sowas immer gerne Excel, habe aber natürlich dieselben vier Zahlen heraus.
Ja, ist sie.
https://www.matheretter.de/grundlagen/teilbarkeit
Zitat von dieser Webseite :
Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar.
Die eigentliche Aufgabe ist ja, diese natürlichen Zahlen unter 100 herauszufinden (der Rest ist nur ein bisschen naive Rechnerei).
Sei n eine natürliche Zahl, n < 100. Wenn n² - 81 durch 100 teilbar ist, muss n² von der Form 100b + 81 sein, für eine natürliche Zahl b. Insbesondere endet die Zahl n² auf die Ziffern 1.
Die letzte Ziffer von n² ist vollständig bestimmt durch das Produkt der letzten Ziffer von n. Aber welche Quadrate von (einstelligen) Ziffern enden denn auf eine 1?
Das sind nur 1² und 9². Insbesondere ist n = 10a + 1 oder n = 10a + 9 für eine Ziffer a.
Damit ist n² = 100a² + 20a + 1 oder n² = 100a² + 180a + 81.
Umgekehrt muss n² = 100b + 81 sein (siehe oben).
Im ersten Fall erhalten wir 100a² + 20a + 1 = 100b + 81, oder auch
100(a² - b) + 20a = 80. Beachte nun, dass 100(a²-b) ein Vielfaches von 100 ist. Daher muss 20a auf die Ziffern "80" enden. Wir erhalten a = 4 oder a = 9. D.h. die Kandidaten mit einer 1 am Ende sind 41 und 91. [streng genommen müsste man auch die Endziffern "20" in Betracht ziehen, aber dafür ergeben sich letzten Endes keine gültigen Lösungen]
Der zweite Fall ist einfacher:
100a² + 180a + 81 = 100b + 81, also
100(a² - b) + 180a = 0. Damit muss 180a ein Vielfaches von 100 sein. Das geht aber nur für a = 0 oder a = 5. Insbesondere sind 59 und 9 weitere Kandidaten.
Ja, denn 0 = 100 * 0 (oder: 0/100 = 0 ist eine ganze Zahl, d.h. 0 kann ohne Rest durch 100 geteilt werden).
Der Online Iterationsrechner schafft das im 3 ms:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Na=0;aB=new%20Array();i=1;@Nif((i*i-81)%25100==0)%20{@Ba]=i;a++;}@Ni%3E99@N0@N1@Nb=Iter(RT=1,2,0,'i%3C'+@Ua-1),'RT*=@Bi];i++;','RT')-22*@Ba-1]+48;
{ LINK endet erst mit +48; und beinhaltet den Algorithmus}
besser
http://www.lamprechts.de/u?u=15
und hat auch wie DepravedGirl heraus: b=19817
siehe Bild
Ich möchte mal wissen, warum GF beim LINK absichtlich was verändert: aus Eingabe Roemisch_JAVA
macht er Roemisch\_JAVA
Daher der 2. kürzere LINK
Meine drei Zahlen 41, 59, 91 sind dieselben. 0 habe ich verworfen.
Das hätte ich nicht tun sollen, denn gemeint ist ja die Zahl 9.
@hypergerd
Das mit den "zerbrochenen" Webseiten-Links auf Gutefrage.net habe ich auch nie verstanden, das habe ich noch in keinem anderen Internetforum erlebt.
Ich benutze deshalb immer URL-Shortener bei brenzligen Links :
Ich hatte vor langer Zeit mal im Forum von Gutefrage.net nachgefragt, ob sie erlaubt sind, und da wurde mit "JA" geantwortet, solange sie nicht dazu benutzt werden um unangemessene Webseitenlinks zu kaschieren und solange sie vom URL-Dienst ummanipuliert bleiben.
Ja, ist sie.
https://www.matheretter.de/grundlagen/teilbarkeit
Zitat von dieser Webseite :
Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar.
Also nachdem ich das mir von Excel hab vorrechnen lassen ist mein Ansatz, dass x² - 81 = y * 100 sein muss.
Das kann man schreiben als (x+9)(x-9) = y * 100
Aufgrund der Symmetrie könnte man darauf kommen, dass eine der Klammern 50, bzw. 0, bzw. 100 sein muss.
Für eine genaue, mathematische Begründung bin ich aber zu müde. Vielleicht hat ja einer von euch eine fixe Idee. Vielleicht schließe ich da etwas zu voreilig. Es ist auch ein Nachteil, wenn man die Lösung schon kennt.
Bei den Restklassenringen gab es so tolle Rechenregeln. Ich habe die schon alle nicht mehr auf dem Schirm.
Hallo Silka02
Die Aussage im ersten Absatz kann man mathematisch so formulieren:
x² - 81 = 100*n; wobei x<100 eine natürliche Zahl und n eine natürliche Zahl ist.
Daraus folgt. x = Wurzel(100*n + 81)
Nun kann ich der Reihe nach von Hand oder mit einem Programm für n erst 1, dann 2, dann 3 usw. einsetzen und prüfen, ob das Ergebnis für x, also die Wurzel(100*n + 81) eine natürliche Zahl ergibt. (n darf dabei maximal 99 sein, damit x<100 bleibt). Das trifft zu für
n=16: x = Wurzel(1681) = 41
n=34; x = Wurzel(3481) = 59
n=82; x = Wurzel(8281) = 91
Die Aussagen der beiden nächsten Absätze lauten mathematisch:
X = 41*59 - 22*91 + 48; Daraus folgt: X = 465
Es grüßt HEWKLDOe.
Man lernt nie aus. Wie ich inzwischen gelernt habe, ist Null durch jede Zahl, so auch durch 100 teilbar. Damit darf ich in die Formel x = Wurzel(100*n + 81) für x auch die Zahl n = 0 einsetzen und erhalte:
n = 0: x= Wurzel(81) = 9 zusätzlich zu den Zahlen 41, 59, 91.
Damit ergibt sich
K = 9*41*59 - 22*91 + 48 = 19817, wie bereits von Volens, hypergerd, DepravedGirl u.a. mitgeteilt.
Die Zahlen, die die Bedingung erfüllen, scheinen sich allgemein nach der wechselnden Sequenz +32, dann +18 zu bilden.