Mathematische Beziehung herstellen (Brückenschaltung)?

Es soll eine mathematische Beziehung zwischen der Brückenspannung Um und delta x des Ferritkerns hergestellt werden. Ich stehe hier komplett auf dem Schlauch.

Answer 1

[AMG38]

Die Brücken Um ergibt sich durch:

$U_M=U_{R2}-U_{L2}\ \ \ \ \ oder\ \ \ U_M=U_{R1}-U_{L1}$

Betrachte einen Zweig als Spannungsteiler und wende dafür die Spannungsteilerregel an, um die Teilspannungen zu ermitteln.

$U_{R2}=U_0\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}$

$U_{L2}=U_0\cdot\frac{L_2}{L_1+L_2}$

Da R1 = R2 = R, kannst du die obere Gleichung vereinfachen:

$U_{R2}=U_0\cdot\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}U_0$

Jetzt kannst du UL2 und UR2 oben in die Gleichung für UM einsetzen.
$U_M=\frac{1}{2}U_0-U_0\cdot\frac{L_2}{L_1+L_2}=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{L_2}{L_1+L_2}\right)$

Nun hast du die Brückenspannung in Abhängigkeit von dem Verhältnis der beiden Induktivitäten. Die wiederum sind abhängig von der Stellung des Ferritkerns.

$L_1=\frac{k}{x_1}\ \ \ \ bzw.\ \ \ \ L_2=\frac{k}{x_2}$

Setze das in die Gleichung für UM ein.

$U_M=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{\frac{k}{x_2}}{\frac{k}{x_1}+\frac{k}{x_2}}\right)=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{\frac{k}{x_2}}{k\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)}\right)$

Das kann man noch weiter vereinfachen:

$U_M=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x_2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)}\right)=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{x_2}{x_1}+1}\right)$

Den Bruch am Ende kann man hier etwas eleganter schreiben, indem man die 1 im Nenner gleichnamig mit x2/x1 macht, diesen dann als gemeinsamen Bruch darstellt um es dann drehen zu können.

$U_M=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_1}}\right)=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{x_2+x_1}{x_1}}\right)=U_0\left(\frac{1}{2}-\frac{x_1}{x_2+x_1}\right)$ et Voila.