Mathematik Beweis: a/b < c/d --> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d

3 Antworten

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kreisfoermig
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
im Thema Mathematik
20.10.2013, 20:53

Anderer Ansatz: man bestätigt die Behauptung als richtig, und nur nebenbei die Voraussetzung verwendet. (Der andere Beweis macht das andersrum: er geht von der Voraussetzung aus und kommt am Ende auf die Behauptung als Ergebnis. Der ist allerdings auch vollkommen gültig.)

Behauptung. Seien a,b,c,d in R. Angenommen, a/b > c/d und b, d > 0. Dann gilt a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Beweis.

Vormerkung.

  • für alle x, x´, y, y´, z in R mit x, x´ > 0 gelten:
    • (I) x+x´ > 0;
    • (II) x·x´ > 0;
    • (III) y < y´ <==> y + z < y´ + z; und
    • (IV) y < y´ <==> y · x < y´ · x.

Daher b + d > 0 wegen (I), b·(b+d) > 0und d·(b+d) > 0 wegen (II).

Zu zeigen: a/b < (a+c)/(b+d) < c/d … (†).

  • (†) <==> a/b < (a+c)/(b+d) und (a+c)/(b+d) < c/d
    • <==> a/b · [b·(b+d)] < (a+c)/(b+d) · [b·(b+d)] und (a+c)/(b+d) · [d·(b+d)] < c/d · [d·(b+d)] … wegen (IV)
    • <==> a·(b+d) < (a+c)·b und (a+c)·d < c·(b+d)
    • <==> ab+ad < ab+cb und ad+cd < cb+cd
    • <==> ad < cb und ad < cb … wegen (III)
    • <==> ad < cb
    • <==> (a/b)·bd < (c/d)·bd
    • <==> a/b < c/d … wegen (IV)

Also gilt (†) <==> a/b < c/d, was selbst wahr ist. Also gilt (†). W. z. z. w.
greenphone
19.10.2013, 12:10

Das ist nicht ganz einfach zu sehen wenn man darin keine Übung hat. Ich werde deshalb jetzt a/b < c/d => a/b < (a+c)/(b+d) zeigen. Den zweiten Teil bekommst du dann vllt selbst hin wenn du das als Bespiel nimmst. Also:

a/b < c/d

=> (ad/b) = c

=> a + ad/b < c + a

=> (ab + ad)/b < a + c

=>(a (b + d))/b < a + c jetzt teile ich durch (b+d), da b, d >0

=> a/b < (a + c)/(b + d)
MatheProf 
Beitragsersteller
 19.10.2013, 12:39

Vielen Dank! Ich habs verstanden und den zweiten Teil auch hinbekommen!

verreisterNutzer
19.10.2013, 16:31

Das würde ja heissen, dass die falsche Addition von 2 Brüchen mit positiven Nenern immer ein Resultat zwischen den gegeben Brüchen ergibt.

Bsp.

1/2 < 3/4

4/6 = 2/3 liegt dazwischen.

Begründung

1/2 = 6/12 < 8/12 < 9/12

Vielleicht hilft es etwas, wenn du

a/b, c/d und (a+c)/(b+d) auf einen gemeinsamen Nenner bd(b+d) bringst.
greenphone  19.10.2013, 18:58

Was genau meinst du mit "falsche Addition" ?