Mathematik - Geometrie - Dreipass (Übertrieben schwere Übungsaufgabe für die achte Klasse)
Hallo,
ich gebe mehreren Schülern Nachhilfe in Mathematik. Doch jetzt hat einer aus der achten Klasse eine Aufgabe bekommen, die ich echt nicht durchblicke. Ich weiß nicht, ob das ein Scherz zum ersten April sein sollte (vielleicht hat er die Aufgabe ja da bekommen), oder ob ich mich einfach nur blöd anstelle.
Die gegebene Geometrische Figur, den Dreipass, hänge ich als Bild an.
In der Aufgabe steht, dass drei Münzen jeweils paarweise aneinander gelegt (so entsteht eben dieser "Dreipass"). Berechnet werden sollen sowohl der Umfang, als auch Flächeninhalt des ZWISCHENRAUMES (kleines krummes Teil in der Mitte der drei Kreise)
Ich habe nach stundenlanger Überlegung immernoch keinen blassen Schimmer. Es wäre daher toll, wenn das gutefrage Team die Frage auch ohne großartigen Rechenansatz drin lässt, notfalls kann ich auch random Formeln für Flächeninhalt & Co hier reinschreiben und nochmal fragen....
Bitte helf mir :S :D
6 Antworten
wenn du Dreieck Fläche hast ziehste einfach die Fläche einer Kreisfläche / 2 ab denn 3 solche Segmente geben die Fläche eines Halbkreises
Restfläche = Fläche Dreieck minus ( Fläche Kreis / 2 ) also Halbkreis
Gute Frage!
Jetzt mal ohne die anderen AW's gelesen zu haben:
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
g = r
h^2 + (r/2)^2 = (2r)^2
⇒ h = sqrt(4r^2 - r^2/4) = sqrt(3,75*r^2)
A (Dreieck) = r * sqrt(3,75*r^2)Kreisteile ("Kuchenstücke) berechnen
- Dreieck gleichseitig ⇒ gleichwinklig: 180° / 3 = 60°
60° von 360° (eine Kreisumdrehung) = 1/6
A (Kuchenstück) = Pi * r^2 * 1/6
Wir brauchen 3A, das ziehen wir vom Flächeninhalt des Dreiecks ab.Hat der Ansatz geholfen, ansonsten erkläre ich gerne noch mal was und rechne ggf. auch die andere Aufgabe vor.
MFG,
KnorxThieus
Die Sache ist gar nicht so schwer, wie sie im ersten Augenblick scheint ...
Natürlich bekommst du hier bloß eine allgemeine Lösung bzw. Lösungsfunktion, da du ja keine zahlenmäßigen Angaben für die Größe der Münzen hast ...
Voilà, dann wollen wir mal ...
Das grau gezeichnete Dreieck in der Skizze ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seitenlängen alle a = 2 *r lang sind (r = Radius des Kreises bzw. der Kreise).
Damit sind auch alle Innenwinkel in diesem Dreieck gleich groß und betragen 60°.
Bis hier hin muss ich das nicht herleiten, dass siehst du einfach, denke ich.
Jetzt zum Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks (findest du in jeder Formelsammlung) ...
A (Dreieck) = (Wurzel (3)) * a²/4 = (Wurzel (3)) * (2r)² /4 = (Wurzel(3)) * r²
Jetzt zu den Kreissegmenten, die innerhalb des grau gezeichneten Dreieckes liegen.
Jedes dieser Kreissegmente hat einen Winkel von 60°, berechnet sich also aus
A (Kreis) = (PI * r²) * 60° / 360° = 1/6 * PI * r²
Da wir drei solcher Kreissegmente in dem grauen Dreieck haben, haben diese drei zusammen einen Flächeninhalt von 3 * (1/6) * PI * r² = 1/2 * PI * r².
Das graue Dreieck ist also eine Fläche, bestehend aus den drei Kreissegmentflächen und der Zwischenraumfläche.
Jetzt musst du von der Dreiecksfläche nur noch die Fläche der drei Kreissegmente abziehen und du erhältst die Zwischenraumfläche.
A (Dreieck) = 1/2 * PI * r² + A (Zwischenr)
A (Zwischenraum) = (Wurzel(3)) * r² - (1/2 * PI * r²) = r² * ((Wurzel (3) - 1/2 * PI)
Damit hast du eine Formel, mit der du für jedes r eines Kreises (einer Münze) die entsprechende Zwischenraumfläche berechnen kannst.
Viel Spaß beim Nachrechnen
Naja wenn der Radius der Münze gegeben ist, ist das doch relativ einfach.
Das Dreieck ist gleichseitig. Damit ist der Winkel überall klar (3 mal 60°). Damit kann man auch den Umfang der Münze, der sich "außen" befindet, leicht berechnen.
Naja und die Fläche ist halt die Dreiecksfläche minus die drei Kreisstückflächen, die ja auch über den Winkel ganz offensichtlich sind.
Ja, für die 8. Klasse ist die Aufgabe in der Tat happig.
Wichtig ist eigentlich nur zu wissen, dass das Dreieck gleichseitig ist und alle winkel deshalb 60grad sind... damit ist der Flächeninhalt der eingeschlossenen gelben Kreisstücke:
3(60°/360°)Pi * r^2 der Münze...
Dann kannst du die Fläche des gesamten Dreiecks berechnen und dann obiges Ergebnis abziehen... et voila, deine krüppelige Fläche!
Ok, so schwer war die jetzt doch nicht...
xD YO mittlerweile weiß ich auch Bescheid, an sich total simpel! Ich bin aber in einer Stunde Kopf zerhämmern nicht drauf gekommen... Muss an den Osterferien liegen xD (sag ich einfachmal :P)
DAS IST ES DANKE! <3 Wie einfach lol