Matheaufgabe Hilfe Tangentenproblem?
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
3 Antworten
a) Scheitelpunkt bei Ps(3/4,5)
b) Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll
f(x)=-0,5*x²+3*x abgeleitet f´(x)=-1*x+3 mit xo=4
f(xo)=f(4)=-0,5*4²+3*4=-8+12=4
f´(xo)=f´(4)=-1*4+3=-1
eingesetzt
ft(x)=-1*(x-4)+4=-1*x+4+4
yt=ft(x)=-1*x+8
Nullstelle ft(x)=0=-1*x+8 → x=8/1=8
Abstand von 2 Punkten im 2-dimensionalen Raum
Betrag d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²
mit P1(4/4) und P2(8/0)
|d|=W((8-4)²+(0-4)²)=5,6568 m
Infos,Parabel
Infos,Tangente/Normale
Du bildest von der Funktion (3x-0,5x²) die erste Ableitung, rechnest x aus und setzt dieses x wieder in die Ausgangsfunktion ein.
Da du wissen möchtest, bei welcher x-Koordinate die höchste Stelle des Berges ist, also wo der Hund sitzt, musst du ausrechnen, an welcher X-Koordinate des Graphen der Anstieg des Graphen "Null" ist.
Die erste Ableitung einer Funktion gibt immer an, wie groß der Anstieg ist.
Das habe ich dir hier mal veranschaulicht. Blau ist deine Ausgangsfunktion, also der Hügel. Rot ist die erste Ableitung.
Wie du die Ausgangsfunktion ableitest entnimmst du deinem Mathebuch.
In dem Beispiel wird aus
f(x)=3x-0,5x² => f'(x)=3-x
Jetzt wo du die Ableitung hast, setzt du für y "Null" ein, da der Anstieg ja am Maximum "Null" ist.
0=3-x
Jetzt rechnest du x aus
x=3
Klasse. Jetzt wissen wir, dass bei x=3 der Anstieg unserer Ableitung "Null" ist. Somit wissen wir auch auch, dass bei x=3 der Berg sein Maximum hat.
Jetzt müssen wir die Höhe ausrechnen, in der der Berg sein Maximum hat. Dafür setzen wir das X, was wir eben ausgerechnet haben in die Ausgangsformel wieder ein.
f(3)=3 * 3 - 0,5 * 3²
Y=9 - (0,5*9)
Y=4,5
Der Berg ist also 4,5 Einheiten hoch.
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Jetzt Aufgabe 2.
Um eine Tangentengleichen nach dem Muster y=mx+n aufzustellen, benötigen wir zuerst den Anstieg an der Stelle.
In dem Fall P(4|4). Wir rechnen also den Anstieg der Funktion am Punkt P mit der ersten Ableitung aus:
y=3-x
y=3-4
y=-1
Der Anstieg am Punkt P ist also -1.
Die Steigung eines Graphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente an dem Graphen in diesem Punkt. Das heißt, dass unsere Tangente ebenfalls einen Anstieg von -1 haben muss.
Setzen wir also x=4, y=4 und m=-1 in die Tangentengleichung ein, um n auszurechnen:
4=-1 * 4 + n
4= -4 + n
8 = n
Das alles setzen wir jetzt in die Tangentengleichung ein, allerdings lassen wir x und y weg.
Somit heißt unsere vollständige Tangentengleichung y=-x+8
Verrückt! Wenn man das aufzeichnet, haut das sogar hin!
Und wie lang ist die Leiter jetzt? Ganz einfach:
Wenn du genau hinschaust, kannst du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Leiter als Hypotenuse bilden. Deine Seite a ist dein n - 4 (x Koordinate deines Punktes P), die b-Seite dein y, also 4. Dann rechnest du mit dem Satz des Pythagoras diese Seite aus.
a²+b²=c²
(8-4)²+4²=c²
√32=c
Das sind etwa 5,657 LE.
*hth
berechne mal den Scheitelpunkt und der y-Wert des Scheitelpunktes ist die Höhe des Hügels. Scheitelp. mit f ' oder mit quadratischer Ergänzung berechnen.
b) f ' (4) = m berechnen und mit P und m die Tangente aufstellen; dann Nullstelle von der Tangente ermitteln und mit Pythagoras die Länge der Leiter berechnen.