3. Tangentenproblem?
Hallo,
ich sitze seit längerem an eine Aufgabe und finde die Lösung nicht.
Ich soll eine Tangentengleichung durch den Punkt P(2 / 2,5) an der Funktion f(x)=x+1/x angeben.
Mit der Tangentengleichung mit u kriege ich das irgendwie nicht gelöst.
Könntet ihr mir da weiterhelfen? (Mit rechenweg bitte)
2 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Differentialgeometrie
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=Stelle,wo die Tangente/Normale an der Funktion f(x)=... liegen soll
f(x)=x+1/x abgeleitet f´(x)=1-1/x² siehe Mathe-Formelbuch,Differentialrechnung,Differentationsregeln,elementare Ableitungen
spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²
hier 1/x ergibt (1/x)´=-1*x⁰/x²=-1*1/x²=-1/x²
eingesetzt
ft(x)=(1-1/xo²)*(x-xo)+(xo+1/xo) mit P(2/2,5)
ft(2)=2,5=(1-1/xo²)*(2-xo)+xo+1/xo
2,5=2-2/xo²-xo+xo/xo²+xo+1/xo
2,5=2-2/xo²+1/xo+1/xo=-2/xo²+2/xo+2
0=-2/xo²+2/xo+2-2,5
0=-2/xo²+2/xo-0,5 multipliziert mit xo²
0=-2+2*xo-0,5*xo²
0=-0,5*xo²+2*xo-2 dividiert durch -0,5
0=xo²-4*xo+4 Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
p=-4 und q=4
x1,2=-(-4)/2+/-Wurzel((-4/2)²-4)=2+/-Wurzel(4-4)
xo1,2=2+/- 0 doppelte Nullstellen (Berührung mit der x-Achse)
also xo=2
eingesetzt
ft(x)=(1-1/2²)*(x-2)+2+1/2=3/4*(x-2)+2+1/2
ft(x)=3/4*x-6/4+8/4+2/4
yt=ft(x)=3/4*x+1
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Hallo,
das ist in diesem Fall doch ganz einfach, da der angegebene Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.
Du brauchst also nur die Ableitung der Funktion zu bilden, für x eine 2 einzusetzen, um die Steigung an dieser Stelle zu ermitteln.
Diese Steigung ist gleichzeitig der Wert für m in der Tangentengleichung y=mx+b.
Nun für x eine 2 in die Tangentengleichung einsetzen und für y die 2,5.
Anschließend nach b auflösen.
Herzliche Grüße,
Willy
welche tangentengleichung meinst du?
t(x)=f´(u)*(x-u)+f(u)?