Wie berechne ich den Berührpunkt einer Tangente an einer Parabel aus?

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5 Antworten

Hallo,

nenn doch bitte mal die Funktion, sowie den beliebigen Punkt, falls er bekannt ist.

Wahrscheinlich musst du die Funktion des Graphen ableiten (damit bekommt man die Steigung) und dann irgendwie mit der Geradengleichung verwurschteln. Das lässt sich allerdings besser erklären, wenn man Werte hat.

Gruß

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Kommentar von whuupwhuup
01.09.2013, 17:11

Funktion: y= 4-0,5x^2 und der Punkt Y(0/6)

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..."Kurzer Prozess":

Eine Tangente an die Parabel

f(x) = 4-0,5x^2 = -x²/2 +4

hat mit f'(x) = -x für beliebiges, aber festes x = p die Form (>http://de.wikipedia.org/wiki/Tangentengleichung#Tangente_in_der_Analysis):

t(x) = f(p) + (x -p)f'(p)

= -p²/2 +4 + (x -p) ( -p)

= -px +p²/2 +4, (1)

Sie enthält den Punkt (0|6) genau dann, wenn t(x) = 6 für x = 0, also:

6 = 0 + p²/2 +4; | -4; | * 2; | ± √

± 2 = p;

mit Einsetzen in (1) sind die beiden möglichen Tangenten:

t(x) = ±2x + 6

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Kommentar von psychironiker
02.09.2013, 09:53

Graphische Vorstellung:

x = p ist die x-Koordinate eines Berührpunkts.

Wegen f(x) = f(-x) ist die Parabel symmetrisch zur y-Achse. Also ist (bei Spiegelung an der y-Achse) auch Spiegelbild einer Tangente wieder eine Tangente.

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Wir haben also meinetwegen die Funktion

f(x) = -1/2 * x² + 4 und den Punkt P(0|6) gegeben. Wir versuchen die Tangentengleichung

t(x) = mx + b herauszufinden. Wir kennen bereits einen Punkt auf der Tangente, den können wir in die Gleichung einsetzen:

6 = t(0) = b. Daher ist t(x) = mx + 6.

Nun suchen wir den Berührpunkt der Tangente an die Parabel. Der Berührpunkt B(p|q) muss folgende Bedingungen erfüllen:

  • f(p) = q, also -1/2 * p² + 4 = q

  • t(p) = q, also mp + 6 = q.

  • f '(p) = m, also -p = m. Diese letzte Gleichung können wir sofort in die zweite einsetzen und erhalten:

  • p² + 6 = q. Nun dürfen wir die ersten beiden Gleichungen gleichsetzen:

-1/2 * p² + 4 = -p² + 6, also 1/2 * p² = 2 oder auch p² = 4.

Somit ist p = 2 oder p = -2. Über f(p) = q kann man leicht die Punkte ausrechnen, die als Berührpunkte infrage kommen.

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Kommentar von Melvissimo
01.09.2013, 17:28

p² + 6 = q

Hier muss es -p² + 6 = q heißen, ich hab es danach aber richig fortgeführt...

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; hier vielleicht.

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