Matheaufgabe - Lage der Geraden untersuchen?

Hallo,

ich habe eine Frage und zwar tu ich mich mit der folgenden Matheaufgabe etwas schwer... Kann mir da jemand weiterhelfen?

"Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g:x = (2 3 -8) + t* (1 1 0) und der Ebene E:x = (2 3 -8) + r* (2 2 1) + s* (-1 5 7) mithilfe eines Normalenvektors der Ebene E."

Auf eure Hilfe und einen einfach nachvollziehbaren Rechenweg inkl. Lösung würde ich mich sehr freuen. Damit ich das im Nachgang selbst nachrechnen kann.

Answer 1

[Applwind]

Ermittle einen Normalenvektor der Ebene E, mithilfe des Kreuzproduktes. Überprüfe durch das Skalarprodukt, ob die Gerade und Ebene parallel zueinander sind. Wenn ja, prüfe durch die Punktprobe,ob die Gerade in der Ebene liegt. Wenn nein, berechne den Schnittpunkt. Tipp : Bring E in Koordinatenform.

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Comments

[Sooo123]

Hast du einen Rechweg als Lösung für diese Aufgabe? Ich möchte das danach selbst nach rechnen um das nachvollziehen zu können wie man auf die Lösung kommt und was da gemacht werden muss. Am besten Schritt für Schritt. Wäre sehr lieb und super.

[Applwind]

@Sooo123

Ich kann die Lösung hier schwer illustrieren, aber berechne doch zuerst das Kreuzprodukt der Spannvektoren der Ebene. Weißt du wie das geht?

[Sooo123]

@Applwind

Ist es [8;−8;−1] ? Hab ich es richtig gerechnet?

[Applwind]

@Sooo123

Der Normalenvektor steht orthogonal(senkrecht) auf den beiden Spannvektoren der Ebene, also muss das Skalarprodukt des Normalenvektor und Spannvektor null ergeben.

Das heißt:

(8 -8 -1)x(2 2 1) = 8*2-8*2-1=16-16-1=-1

Somit stehen die Vektoren nicht senkrecht aufeinander. Damit ist deine Lösung leider falsch...

[Sooo123]

@Applwind

wie wäre es dann korrekt? Ich würde mich auf eine Schritt für Schritt Rechnung zu meiner gestellten Frage sehr freuen. Hauptsache ich verstehe dann wie man auf die Schritte kommt und wie die Zahlen sich zusammensetzen...

[Applwind]

@Sooo123

Ein Normalenvektor wäre n = (4 -16 12) oder (1 - 4 3). Prüf mal, ob dies stimmt ( siehe oben).

[Sooo123]

@Applwind

ja, das passt. Wie sind Sie darauf gekommen auf n? Was war ihr Rechenweg? Also wie haben Sie das gerechnet mit dem Kreuzprodukt?

[Applwind]

@Sooo123

Du kannst mich gerne Duzen, ich bin ja auch nur ein Schüler.

Ich habe die "FM" verwendet, das bedeutet folgendes:

(2 2 1) x (-1 5 7) = (4 -16 12)

Decke die erste Zeile mit deinen Finger ab und rechne 2*7-5*2=4 --> kommt in die erste Zeile.

Decke die letzte Zeile mit deinen Finger ab und rechne 2*5-(-2*1)=10+2=12 --> kommt in die dritte Zeile.

Decke die mittlere Zeile ab und rechne 2*7-(-2*1)=14+2=16 --> -16

Achtung : Hier muss das Vorzeichnen umgedreht werden.

[Sooo123]

@Applwind

Cool. Und somit wäre die gesamte Aufgabe gelöst, oder war es nur ein Teilschritt? Also benötige ich hier kein LGS anzuwenden und sonstiges?

[Applwind]

@Sooo123

Das war nur ein Teilschritt. Jetzt musst du überprüfen, ob das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Richtungsvektor null ergibt.

[Sooo123]

@Applwind

Wow. So einfach war das also. Also haben wir uns den Schritt mit dem Linearen Gleichungssystem gespart richtig?

Ja, verstanden soweit und übrigens. Damit man später die Punktprobe machen kann, das kriege ich hin :-)

[Applwind]

@Sooo123

Du hast dir diesen Weg nur gespart, wenn die Gerade entweder in E liegt oder parallel zur E ist, sonst musst du eine Gleichung lösen.

[Sooo123]

@Applwind

Super! Vielen lieben Dank. Boah ich habe mich den halben Tag damit totgeschlagen

Answer 2

[codinghelp]

Schau erst ob sie vlt parallel sind oder senkrecht, ansonsten berechne den Schnittwinkel

Answer 3

[oxidator85]

Erstmal gleichsetzen!

(23-8)+t(110)=(23-8)+r(221)+s(-157)

Umstellung vornehmen!

Links Werte und rechts mit Variablen

Dann LGS aufstellen!

Lösen!

Comments

[oxidator85]

Ach ne Normalenvektor! Dann s.o.