Matheolympiade 3, benötige Hilfe?

Über den Seiten AB und BC eines Dreiecks ABC werden nach außen Quadrate BADE bzw. CBFG errichtet (Siehe Foto)

Man beweise, dass die Seitenhalbierende BH halb so lang ist wie die Strecke EF.

Comments

[Halbrecht]

das dreieck sieht gleichseitig aus , ist es das ?

[Ratlos4278]

Ich denke nicht, in der Aufgabe steht nichts davon und die beiden Quadrate sind ja auch unterschiedlich groß, dementsprechend müssen die Seiten unterschiedlich lang sein

Answer 1

[gauss58]

β = Winkel CBA

180° - β = Winkel EBF

Dreieck EFB

b² = a² + c² - 2ac * cos(180° - β)

mit b = EF ; c = EB und a = BF

b² = a² + c² - 2ac * (cos(180°) * cos(β) + sin(180°) * sin(β))

b² = a² + c² - 2ac * (-cos(β))

(1) EF² = a² + c² + 2ac * cos(β)

Dreieck ABC

s_b² = ((a² + c²) / 2) - (b² / 4)

mit s_b = Seitenhalbierende auf AC = BH ; a = BC ; b = AC ; c = AB

siehe:

https://books.google.de/books?id=EG6qCAAAQBAJ&pg=PA63#v=onepage&q&f=false

(2) (2 * s_b)² = a² + c² + (a² + c² - b²)

Kosinussatz:

b² = a² + c² - 2ac * cos(β)

(3) 2ac * cos(β) = a² + c² - b²

(3) in (2)

(4) (2 * s_b)² = a² + c² + 2ac * cos(β) = (2 * BH)²

EF = 2 * BH

Answer 2

[Hamburger02]

Zuerst ermitteln wir den Winkel EBF:
Wenn man CB verlängert und ebenso AB, erhaält man im Dreick EBF einen "Mittelwinkel", der = Winkel β = Winkel ABC ist.

Der Winkel oberhalb dieses Mittelwinkels beträgt 180° - 90° - β
und der darunter dito.

Also ist Winkel γ (Winkel EBF):
γ = 2*(180 - 90 - β) + β = 180° - β

Nun setzen wir die Gleichung für die Seitenhalbierende sb an:

sb = 1/2 √(c^2 + a^2 + 2ca * cosβ)

Und mit dem Kosinussatz setzen wir EF an:
EF^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos γ

Nun war γ = 180° - β, also gilt
cos γ = cos (180-β) = -cos β

Und setzen das oben ein:
EF^2 = a^2 + c^2 + 2ac * cos β

Und nun sehen wir schon, dass sich sb und EF^2 ziemlich ähneln..

Also rechnen wir sb^2:
sb^2 = 1/4 * (c^2 + a^2 + 2ca * cosβ)

Mit (a^2 + c^2 + 2ac * cos β) = EF^2 ergibt sich damit:
sb^2 = 1/4 EF^2
Wurzel ziehen:

sb = 1/2 * EF

q.e.d.

Answer 3

[Mauritan]

Ich würde da Pythagoras probieren.

EFB ist jedenfalls ein rechtwinkeliges Dreieck, von dem Deine eine gesuchte Strecke die Hypothenuse ist. Also stellst Du dazu eine Gleichung auf ala a2 + b2 = c2.

Dann suchst Du weiter nach Dreiecken, bis Du dann zu Deiner zweiten Strecke kommst, die ja als Höhe in einem Dreieck, dieses wieder in 2 rechtwinkelige Dreiecke aufteilt.

Irgendwann kommst Du dann zu einer Gleichung, die Deinen Beweis darstellt.