mathe extremalaufgabe quadrat?
kann mir jemand bitte bitte erklären, wershalb man nicht als Hauptbedingung a*a einfach machen kann also weil das ja einfach die formel für ein Quadrat ist? wieso muss man den satz des pythaghoras benutzen? undd wie rechnet man diese aufgabe weiter? bitte um hilfe?
2 Antworten
Die Fläche des inneren Quadrates soll minimal werden. Sei die Seitenlänge des inneren Quadrates a, so folgt die Fläche zu:
A = a²
Es gilt nun die noch unbekannten Seitenlängen in Abhängigkeit der Variable x auszudrücken. Mit dem Satz des Pythagoras folgt:
a² = x² + (20 - x)²
Somit kann die Fläche in Abhängigkeit von x angegeben werden zu:
A = A(x) = x² + (20 - x)²
Ausmultiplizieren liefert uns dann:
A(x) = 2x² + 400 - 40x
Das Maximum können wir nun bspw. mittels Differentialrechnung bestimmen:
A´(x) = 4x - 40
A´´(x) = 4 > 0
Notwendige Bedingung:
A´(x) = 0 ---> x = 10
Hinreichendes Kriterium:
A´´(x = 10) = 4 > 0
Somit liegt bei x = 10 also ein Minimum vor. Die Minimale Fläche lautet dann:
A(x = 10) = 200
und wieso muss ich die a anders ausdrücken? kommt man sonst auf kein Ergebnis? und wie mach ich das mit der nb wir haben das so gemacht das wir die nb dann in die hb ingesetzt haben?
Die "rechtwinkligen Dreiecke" kann man sofort berechnen.
Fläche des Quadrats=Gesamtfläche- Dreieckflächen
A=20^2-1/2*x*(20-x)*4 hier 4,weil 4 Dreiecke
A=400-2*x*(20-x)=2*x^2-40*x+400 abgeleitet
A´(x)=0=4*x-40 Nullstelle bei x=40/4=10
A´´(x)=0=4>0 also ein "Minimum"
Bedingung "Maximum" f´(x)=0 und f´´(x)<0
" "Minimum" f´(x)=0 und f´´(x)>0