Mathe Aufgabe Quadrat/Diagonalenschnittpunkt?
Folgende Aufgabe:
Danke für jeden Tipp/Lösung
1 Antwort
Zum besseren Verständnis des Folgenden am besten eine Skizze anfertigen.
Seien E und F die Halbierungspunkte der Strecken [AB] bzw. [CD], die Gerade EF also die zu BC und AD parallele Symmetrieachse des Quadrats ABCD.
Seien P und Q Schnittpunkt der Geraden g mit einer der Quadratseiten. Es genügt, den Fall P∈[AB] zu betrachten, da wegen der Symmetrieeigenschaften des Quadrats die nachfolgenden Überlegungen auch für die Fälle P∈[CD], P∈[BC] und P∈[AD] gelten.
Ferner genügt es, den Fall P∈[BE] zu betrachten, da wegen der Achsensymmetrie des Quadrats zur Geraden EF die nachfolgenden Überlegungen auch für den Fall P∈[AE] gelten.
Für P=B folgt die Behauptung sofort, weil dann Q=D sein muss, damit g die Quadratfläche halbiert. Damit ist g die Diagonale BD und M liegt als Schnittpunkt der Diagonalen auf g.
Für P=E folgt die Behauptung ebenfalls sofort, weil dann Q=F sein muss, damit g die Quadratfläche halbiert. Damit ist g die Symmetrieachse EF und M liegt auf g, weil sonst auch der an EF gespiegelte Bildpunkt M' von M Schnittpunkt der Diagonalen wäre, was nicht sein kann, weil es nur einen solchen Punkt geben kann.
Sei also nun P∈[BE], aber P≠B und P≠E. Dann sind für Q folgende Fälle zu untersuchen:
a) Q∈[AB]:
Dieser Fall scheidet aus, weil dann P und Q auf [AB] = g liegen, g also die Quadratfläche nicht halbiert.
b) Q∈[BC] und Q≠B:
Dann teilt [PQ] die rechteckige Quadrathälfte BCFE, daher ist die Fläche des Rechtecks PBCQ kleiner als die Quadrathälfte. Auch dieser Fall scheidet also aus, weil g = PQ die Quadratfläche nicht halbiert.
c) Q∈[CF]:
Ebenso wie Fall b)
d) Q∈[FD]:
In diesem Fall schneidet PQ=g die Mittelachse EF in einem Punkt M'.
Wir bezeichnen im Weiteren den Flächeninhalt des Rechtecks PBCQ mit A(PBCQ) etc. Dann gilt:
A(PBCQ) = A(PQDA) nach Voraussetzung, denn dies sind die Flächeninhalte der beiden Teilflächen des durch g geteilten Quadrats. Ferner gilt:
A(PBCQ) = A(BCFE) - A(PM'E) + A(M'FQ) und
A(PQDA) = A(AEFD) + A(PM'E) - A(M'FQ).
Subtrahiert man diese beiden Gleichungen voneinander und berücksichtigt, dass ihre linken Seiten gleich sind (s.o.), erhält man
0 = 2A(PM'E) - 2A(M'FQ) bzw.
A(PM'E) = (M'FQ)
Da die beiden Dreiecke PM'E und M'FQ kongruent sind (gleiche Winkel, gleiche Fläche), folgt daraus insbesondere |PM'| = |M'F|, also M' = M. Also geht wie behauptet die Gerade g = PQ durch den Diagonalenschnittpunkt M.
e) Q∈[AD] :
Auch dieser Fall scheidet aus, da A(PQA) < A(ABD) = A(ABCD)/2 und somit die Voraussetzung nicht erfüllt ist.