Vektorgeometrie Parallelogramm Diagonalenschnittpunkt?
Ich habe folgende Aufgabe:
Von einem Parallelogramm sind zwei Ecken A, B und der Diagonalenschnittpunkt E gegeben. Gesucht sind die anderen Ecken. A(3|-2|5), B(7|5|10), E(5|4|6)
Die Lösung ist: D(3|3|2), C(7|10|7)
Meine Lösungsidee ist, dass Vektor AE das 0.5fache von Vektor AC ist, da sich der Diagonalenschnittpunkt in der Mitte befindet und ich also einfach Vektor AE um Faktor 2 rechnen muss.
also:
AE=(5-3/4+2/6-5)=(2/6/1) -> 2AE= (4/12/2)
Wie komme ich auf die Lösung und worin liegt mein Fehler?
Hier eine ergänzung, das ganze ist natürlich im raum
3 Antworten
Hi,
sagen wir C mit den Koordinaten:C( x1 | x2 | x3 )
so haben wir:
A A(3 | -2 | 5) + C ( x1 | x2 | x3 ) = E(5 |4 | 6) => (3 + x1) / 2 = 5, (-2 + x2) / 2 = 4 und
(5 + x3) / 2 = 6,
ebenso dann mit BE.....
LG,
Heni
Meine Lösungsidee ist, dass Vektor AE das 0.5fache von Vektor AC ist
Die Idee ist schon mal gut und zielführend. Andersrum wirds noch besser: AC ist das doppelte von AE.
und ich also einfach Vektor AE um Faktor 2 rechnen muss.
Der Ansatz ist korrekt.
Aaaber die Ausführung ist falsch...und die Skizze ist schlampig, weil ya nicht 2, sondern -2 ist.
Und jetzt eine saubere Methode innnerhalb der analytischen Geometrie.
Zuerst stellst du die Geradengleichung durch A und E in Parameterform auf
Dazu nimmst du den Ortsvektor von A (= Koordinaten von A) als Stützvektor und E - A als Richtungsvektor:
Berechnung des Richtungsvektors:
E - A = (5/4/6) - (3/-2/5) = (2/6/1)
Mit dem Ortsvektor A und dem Richtungsvektor E-A hast du die Geradengleichung:
g: x = (3/-2/5) + r(2/6/1)
r ist der Parameter.
r = 0 ergibt den Ortsvektor ( = Koordinaten) von A
r = 1 ergibt den Ortsvektor von E
r = 2 ergibt dann den Ortsvektor von C, wobei der Richtungsvektor AC dann doppelt so lang ist wie AE:
C = (3/-2/5) + 2(2/6/1) = (7/10/7)
Damit solltest du auch D ausrechnen können.
Hallo,
warum so kompliziert?
E liegt genau zwischen A und C und zwischen B und D.
Nun als Beispiel Punkt A (3|-2|5).
Vergleiche ihn mit E (5|4|6) und gehe komponentenweise vor.
Von der ersten Komponente von A bis zur ersten von E sind es +2 Einheiten.
Weitere 2 führen zur ersten Komponente von C: 3+2=5+2=7.
Erste Komponente von C ist also eine 7.
Von -2 bis 4 sind es +6 Einheiten. Weitere 6 führen zur zweiten Komponente von C:
-2+6+6=4+6=10.
Von 5 bis 6 ist es +1 Einheit, eine weitere führt zur dritten Komponente von C:
5+1+1=6+1=7.
So kommst Du zu Punkt C (7|10|7).
Entsprechend gehst Du bei B und D vor.
Achte darauf, ob Du von B auf E Plus oder Minus rechnen mußt.
Erste Komponente von B ist 7, die erste von E ist 5, also zwei Einheiten weniger.
Jetzt rechnest Du 7-2-2=3, um die erste Komponente von Punkt D zu erhalten.
Herzliche Grüße,
Willy
Warum addierst du die Vektoren? ich verstehe nicht, warum A+C=E ergibt