Mathe analytische Geometrie?
Hallo, komme bei der Aufgabe d) nicht weiter. Mir wurde gesagt ich solle Punkte spiegeln, weiß aber nicht welche..? :)
Hier ist noch Kontext dazu :)
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
Wie stellst du eine Parabelkurve auf, die den Scheitel (0, 5, 3) hat und entlang der Geraden g = (–10, –5, –20) + (2 s, 2 s, 5 s) geht?
Wir wissen, entlang welcher Richtung in der x1x2-Ebene die Parabel geht. Diesen Richtungsvektor (2, 2, 0) müssen wir noch normieren: (1/√2, 1/√2, 0). So stellen wir sicher, dass auch immer nur x Meter gegangen werden, wenn man zu einem Punkt den Vektor (x/√2, x/√2, 0) addiert.
Der Scheitelpunkt soll hier der höchste Punkt sein. Wenn wir also x Meter entlang der Richtung (2, 2, 0) gehen, wollen wir in der z-Komponente dann die Höhe 3 – x² erhalten.
Die Parabel wird daher beschrieben durch.
p: x = (0, 5, 3) – (t/√2, t/√2, a t²).
Die Steigung a ist noch nicht bekannt. Sie sollte so gewählt sein, dass der Übergang zur Geraden g glatt ist, also die selbe Steigung am Berührpunkt besitzt.
Das geht tatsächlich so einfach, wie es sich annhört. Man bildet die Ableitung von p und schaut, wann er parallel zum Richtungsvektor von g ist.
k (–1/√2, –1/√2, –2 a t) = (2, 2, 5),
also k = –2 √2 und a = 5 √2 / (8 t).
Da g und p sich berühren müssen, gilt zudem
(0, 5, 3) – (t/√2, t/√2, 5 √2 t / 8) = (–10, –5, –20) + (2 s, 2 s, 5 s),
was zu t = 8 √2 / 5, s = 21/5 und damit a = 5 √2 / (8 • 8 √2 / 5) = 25 / 64 führt.
Die Parabel ist also gegeben durch
p = (–t / √2, 5 – t / √2, 3 – (5 t / 8)²).
Da bei s = 21/5 die z-Komponente von g schon übern Wasser ist, müssen wir den Schnittpunkt (Wasseraustritt) mit der x1x2-Ebene (Wasseroberfläche) bei g suchen. Den zweiten dann mit p (Wassereintritt).
–20 + 5 s = 0 <=> s = 4 => S_aus = (–2, 3, 0).
3 – (5 t /8)² = 0 <=> t = ±8 √3 / 5.
Da der Berührpunkt von p und g entlang der in die x1x2-Eben projizierten Geraden
g* = (–10, –5, 0) + (2 s, 2 s, 0)
auf dem Lotfußpunkt B(–5/8, 14/5, 0) in der x1x2-Ebene liegt, kommt nur die negative Lösung von t infrage. Denn dann sind die x-y-Komponenten entlang g* von B in positiv orientierter Richtung entfernt. Damit also
S_ein = (4 √6 / 5, (25 + 4 √6) / 5, 0).
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rammstein53/1615404814643_nmmslarge__0_0_346_346_2e08198db203389692d6d8287572496d.png?v=1615404815000)
Der Delphin verlässt das Wasser, falls z=0, d.h. g(s) = (x,y,0). Das gilt für s = +4.
Der Austrittspunkt lautet deshalb P1 = g(4) = (-2,3,0).
Der Lotpunkt des Parabelscheitels auf der xy-Ebene lautet L=(0,5,0).
Gerade h durch P1 und L:
h(r) = P1 + r*(L-P1) = (0,5,0) + r*(-2,-2,0)
Das es sich um eine perfekte Parabel handelt, gilt
h(1) = P1
h(0) = L
h(-1) = P2 = (2,7,0) (Eintrittspunkt, das ist der Spiegelpunkt von P1 auf der Geraden h, bezogen auf den Lotpunkt L)
Test: Abstand P1-L = P2-L = 2.83
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
Aber hier ist nicht bedacht worden, dass die Parabel sich anschmiegt an die Gerade g. So macht es zumindest am meisten Sinn.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
den Austrittspunkt aus dem Wasser kannst du bestimmen, indem du x3 = 0 setzt und dafür das s bestimmst
der Scheitelpunkt auf die Wasseroberfläche projiziert hat die Koordinaten (0|5|0), es werden nur die x1 und x2 Koordinaten beachtet und x3=0 gesetzt
nun kannst du die Strecke vom Austrittspunkt zum Scheitelpunkt verdoppeln (wegen der Symmetrie der Parabel) und so den Eintrittspunkt ins Wasser ermitteln
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
Aber hier ist nicht bedacht worden, dass die Parabel sich anschmiegt an die Gerade g. So macht es zumindest am meisten Sinn.