Lösungsformel Grad 4?
Gleichung: x^4-x^3-12x^2-4x+16=0
Alle vier Lösungen sind bekannt, jedoch möchte ich die auch mit der Lösungsformel von Ferrari lösen können. Kann es mir jemand vorrechnen? Dankeschön :)
3 Antworten
Hallo,
durch Substitution von x+(1/4)a=y wird die Gleichung
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 in die Gleichung y^4+py^2+qy+r=0 überführt.
In Deinem Fall ist a=-1, b=-12, c=-4 und d=16 .
p=(-3/8)a²+b=-12,375, q=(1/8)a³-(ab)2+c=-10,125,
r=(-3a^4)/256+(a²b)/16-(ac)/4+d=14,23828125.
Nachdem Du p, q und r bestimmt hast, löst Du die Gleichung
z³+(5/2)pz²+(2p²-r)z+0,5p³-0,5pr-(1/8)q²=0 mit Hilfe der Formel von Cardano nach z auf, wobei Du nur eine Lösung für z benötigst.
Für die Formel von Cardano ist a=(5/2)p, b=2p²-r und c=0,5p³-0,5pr-(1/8)q².
Vorsicht! Diese a, b und c sind neue Größen und haben mit den a, b und c aus der usprünglichen Gleichung nichts zu tun. Sie werden für die Formel von Cardano benutzt, um die Hilfsgröße z zu bestimmen.
Das rechne ich Dir jetzt nicht vor, wie die cardanische Formel funktioniert, habe ich Dir ja in meiner anderen Antwort geschrieben. Eine Lösung für z ist hier
z=16,3125.
Nun ist die Gleichung auf eine quadratische reduziert:
y²-/+√(p+2z)*y+/-[q/( 2√(p+2z))]+p+z=0
Die wird nach der st-Formel gelöst mit s=-/+√(p+2z)=-/+4,5
und t=+/-[q/( 2√(p+2z))]+p+z=2,8125 bzw. 5,0625.
Ich habe die pq-Formel hier in st-Formel umbenannt, weil es sonst zu Verwechslungen mit den anderen p und q aus der Gleichung kommt.
So kommst Du zu y1=3,75, y2=0,75, y3;4=-2,25.
Da x=y+1/4, kommst Du zu den Lösungen
x1=4, x2=1, x3;4=-2.
Du siehst, es ist machbar, aber es gibt 1000 Möglichkeiten, sich zu verrechnen und ist außerdem sehr langwierig.
Ein Rechner, bei dem Du mehrere Speicher für die Hilfsgrößen hast, hilft ungemein.
Es kann auch zu komplexen Lösungen kommen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das wird dir hier keiner vorrechnen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung
Da die allgemeine Lösungsformel unübersichtlich ist, wird die allgemeine Gleichung schrittweise in speziellere, äquivalente Formen überführt. Die dabei vorgenommenen Transformationen der Variablen müssen am Ende an den Lösungen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht werden.
Du kannst dich aber gerne daran machen das in Wikipedia beschriebene Verfahren durch zu führen. Viel Erfolg.
Kein Problem, steht hier
