Lineares Gleichungssystem lösen?
Hey! Ich weiß , dass ich schon mehrere Fragen zu diesem Thema gestellt habe , aber ich habe echt das Gefühl das ich dafür zu blöd bin . Wäre also echt nett wenn ihr mir noch einmal helfen würdet.
Fritz sagt zu Franz: " Vor 5 Jahren war ich sechsmal so alt wie du". Daraufhin sagt Franz zu Fritz : " In 3 Jahren wirst du doppelt so alt sein wie ich" . Wie alt sind sie heute?
4 Antworten
Hier kommt als Schwierigkeit die Zeit hinzu. Hier ist das (unter anderem) beschrieben.
http://dieter-online.de.tl/Deutsch_Mathematisch.htm
Da beide mit F anfangen, nehmen wir mal Franz als y und Fritz als x.
Erste Aussage: x - 5 = 6 (y - 5) vor 5 Jahren
Zweite Aussage: x + 3 = 2 (y + 3) in 3 Jahren
Ganz schön verwickelt!
Rechnerisch gibt es mehrere Möglichkeiten:
http://dieter-online.de.tl/2-Gleichungen-mit-2-Unbekannten.htm
Am meisten bietet sich hier das Gleichsetzungsverfahren an, weil x in beiden Gleichungen schon ziemlich allein steht.
I x = 5 + 6 (y - 5)
II x = -3 + 2 (y + 3)
x = x, daher auch
5 + 6 (y - 5) = -3 + 2 (y + 3)
5 + 6y - 30 = -3 + 2y + 6
Weiter kannst du dann sicher selbst. Es ist ja nur eine Bestimmungsgleichung für y. Das y setzt du nachher in I oder in II ein.
Spoiler
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Tu dir den Gefallen, und rechne es erst selbst aus.
x = 17 (Fritz heute)
y = 7 (Franz heute)
Franz = a
Fritz = b
(1) b-5 = 6*(a-5)
(2) 2*(a+3) = b+3
(1) nach b auflösen:
b-5 = 6*(a-5) |+5
b = 6*(a-5)+5
b = 6a-30+5
b = 6a-25 (1')
(1') in (2) einsetzen:
2*(a+3) = b+3
2*(a+3) = 6a-25+3
2a+6 = 6a-22 |-2a
6 = 4a-22 |+22
28 = 4a |/4
7 = a
in (1') einsetzen:
b = 6a-25
b = 6*7-25 = 42-25 = 17
Das heißt, Franz ist 7 Jahre alt und Fritz 17 Jahre.
b = 6a-30+5
Hier hat 30 ein negatives Vorzeichen, es werden also 30 abgezogen. 5 dagegen hat ein positives Vorzeichen, es werden also 5 addiert. Die Rechnung lässt sich damit umschreiben zu:
b = 6a-30+5 |Kommutativgesetz anwenden
b = 6a+5-30 |Assoziativgesetz anwenden
b = 6a+(5-30) |Distributivgesetz anwenden
b = 6a-(30-5) |30-5 = 25
b = 6a-25
So wie du es vorgeschlagen hast, wäre die Rechnung:
(1) b = 6a-30+5
(2) b = 6a-(30+5) = 6a-35
Diese Umformung ist jedoch nicht richtig. In Zeile (1) ist es -30+5, das heißt, 30 hat ein negatives Vorzeichen, und 5 ein positives.
In Zeile (2) sind 30 und 5 beide in einer Klammer, vor der ein negatives Vorzeichen steht. Nach dem Distributivgesetz lässt sich diese Klammer auflösen zu:
-(30+5) = (-1)*(30+5) = (-1)*30+(-1)*5 = -30-5
Jetzt stehen plötzlich vor der 30 und der 5 negative Vorzeichen! Es handelt sich hier also nicht mehr um die selbe Rechnung wie in Zeile (1), weil die Umformung nicht richtig war.
1. (Fr-5)*6=Fz-5
2.(Fr+3)*2=Fz+3 ergibt Fr*2+6=Fz+3 ergibt Fz=Fr*2+3 in 1. eingesetzt
1. Fr* 6 - 30=Fr*2 + 3 - 5 ergibt Fr*6-Fr*2=3-5+ 30=28 Fr=28/(6-2)=7
in 2. (7+3)*2=Fz+3 ergibt Fz=20-3=17
Fritz Fz=17 Jahre und Franz Fr=7 Jahre
HINWEIS : Hier werden 2 Unbekannte ,Fr und Fz gesucht und dazu braucht man 2 Gleichungen,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
Das Schwierigste ist die Aufstellung der beiden Gleichungen.Der rest ist nur eine einfache Rechnerei.
x = Alter Fritz heute
y = Alter Franz heute
x-5=(y-5)*6
x+3=(y+3)*2
und jetzt nach x auflösen.
Gruß Peter
müsste bei 1' (als du b aufgelöst hast) nicht b=6a-35 Statt b=6a-25 rauskommen? Weil im vorherigen Schritt ja 30 mit 5 addiert und nicht subtrahiert wird?