Lagrange Multiplikatorregel (Kann diese Lösung richtig sein)?
Hallo, folgendes Beispiel:
In meinen Rechnung komme ich auch auf a., so weit so gut.
Laut Lösung wird aber auch c. als richtig erwartet. Ich frage mich kann dies wirklich sein? Ich meine (1,1,1) ist hier nun sicher mal ein Maximum unter der Nebenbedingung. Für f(3,0,0)=0 hat man also sicher mal kein Maximum. Nehme ich nun z.B. (-1,1,3) so erfüllt dies die Nebenbedingung und der Funktionswert ist auf jeden Fall kleiner als 0.
Warum soll (3,0,0) nun also eine kritische Stelle sein, kann das ein Fehler der Lösung sein oder liege ich hier falsch?
1 Antwort
Du sollst hier auch nicht die Extremstellen bestimmen, sondern nur die kritischen Punkte.
Der Gradient von f ist (yz, xz, yz) und ist bei (3,0,0) gleich 0. Somit ist der Gradient der Langränge Funktion an der Stelle mit Lambda=0 gleich 0, du hast da also einen kritischen Punkt.
Kritische Punkte müssen aber nicht immer Maxima oder Minima sein, sie können auch Sattelpunkte sein, du hast hier also keinen Widerspruch, nur weil es kein Extrema ist.
So in etwa.
Anscheinend musst du die Hessematrix H von f(x,y,z)-lambda*g(x,y,z) (mit deinem Lambda) an dem Kritischen Punkt bestimmen, und dann für die Vektoren v, die tangential zu der Fläche, die die Nebenbedingung bildet, sind (also orthogonal zu dem Gradienten von g), prüfen, ob v^T*H*v immer positiv (bzw negativ) ist. Dazu reicht es aus, eine Orthogonalbasis für die Tangential Vektoren zu nehmen.
Die Vorangehensweise wird hier genauer beschrieben:
Aber ich vermute Mal, dass du sowas höchstens in fortgeschritteren Modulen sehen wirst, ich sehe das gerade auch zum ersten Mal.
Ich glaube ich habe aus Versehen "Nicht hilfreich* geklickt, bitte um Entschuldigung
Danke, bin gerade selber auch drauf gekommen, dass (3,0,0) natürlich auch das Gleichungssystem löst, aber so macht das dann natürlich Sinn. Angenommen ich würde gerne wissen wollen um was für Kritische Punkte es sich handelt, müsste ich mir dann die Eigenwerte der Hessematrix der Lagrange Funktion anschauen, oder was könnte man da machen?