Längenkontraktion Herleitung + Anwendung?
Warum wird hier AB auf 1 gesetzt und AC auf v/c?
warum wird dann tb = tr * Lorentz-Faktor gesagt?
warum schließen die Türen nicht gleichzeitig aus Sicht des Autos?
1 Antwort
Hallo NetterGau,
das oberste Bild zeigt eine – aus meiner Sicht verkomplizierte – Darstellung des Lichtuhr- Gedankenexperiments. Es ist auch ärgerlich, dass (mal wieder, wie so oft) von der ruhenden und der bewegten Uhr die Rede ist, denn die SRT beruht auf GALILEIs Relativitätsprinzip (RP).
Das besagt, dass man ebensogut die "(mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v) bewegte" Uhr als ruhend und die "ruhende" Uhr als mit −v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt beschreiben kann, ohne dass sich an den grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) etwas änderte.
Warum wird hier AB auf 1 gesetzt und AC auf v/c?
Weil sich in genau der Zeitspanne tᵣ, in der sich ein Lichtpuls von A nach B' und B bewegt, die "bewegte" Lichtuhr von A nach c bewegt.
warum wird dann tb = tr * Lorentz-Faktor gesagt?
Der LORENTZfaktor ist
(1) γ := 1/√{1 − v²} ¹),
es ist also tb = tr⁄γ, nicht tb = tr∙γ. In der Zeit tᵣ, in der das Lichtsignal in der "ruhenden" Lichtuhr deren anderes Ende (B') erreicht, schafft es das Licht in der "bewegten" Uhr nur bis B, was vor dem anderen Ende der Lichtuhr liegt.
Die Strecke von C bis B ist um den Faktor 1⁄γ kürzer als die Lichtuhr, und entsprechend weniger Zeit (nämlich tb) misst die "bewegte" Lichtuhr auch, oder anders gesagt, ihr eigener Zeittakt ist um den Faktor γ länger.
warum schließen die Türen nicht gleichzeitig aus Sicht des Autos?
Ich würde eher sagen: im Ruhesystem Σ' des Autos,²) und ich würde auch lieber davon ausgehen, dass die zweite Garagentür schon geschlossen ist und sich öffnet, wenn das Auto kurz vor ihr ist. Die Idee ist, dass die erste Tür schließt, sobald das Heck drin ist, sodass es im Ruhesystem Σ der Garage einen Zeitpunkt gibt, wo beide Türen geschlossen sind.
Das lässt sich am besten mit Hilfe zweier Beobachter B und B' beantworten:
- B hält sich während der Durchfahrt des Autos genau in der Mitte der Garage (natürlich neben der Fahrbahn) bei x = 0 auf; die hintere Garagentür A liegt bei x = −d, die vordere, C, liegt bei x = d.
- B' sitzt auf einem Rücksitz des Wagens und kommt genau in dem Moment an B vorbei, in dem B beide Türen geschlossen sieht.
Was sieht B'? Natürlich dasselbe, er ist ja am selben Ort. Für ihn allerdings sieht die vordere Tür um den Faktor
(2) (1 + v)/(1 − v) =: K² ¹)
(im Beispiel 1,8/0,2 = 9) weiter entfernt aus als die hintere. Genauer gesagt sieht er C in der Entfernung K∙d (hier 3∙d) und A in der Entfernung d⁄K (hier ⅓∙d).
- In Σ ist das als Aberration deuten: Weil er sich bewegt, scheint alles Licht eher von vorn zu kommen.
- In Σ' ist das als Retardierungseffekt zu deuten: Das Licht von A und C erreicht ja B und B' mit Verzögerung, und C war beim Öffnen ja tatsächlich 3∙d von B' entfernt, und A beim Schließen nur ⅓∙d. Deshalb hatte das Licht von C auch den weiteren Weg, und so muss C früher geöffnet worden sein als A geschlossen hat.
Abb. 1: Schematisches Raumzeit-Diagramm der Begegnung von B und B'. Die grünen Strecken stellen das von den Türen A und C ausgehende Licht dar.
-- Anmerkungen --¹) Um nicht immer c mitschleppen zu müssen, bietet es sich an, Natürliche Einheiten zu verwenden, in denen 1 Nanosekunde nicht nur eine (sehr kurze) Zeitspanne, sondern auch eine Strecke (knapp 30cm) ist. Dadurch ist in diesen Maßeinheiten automatisch c=1.
²) Als Autofahrer kannst Du Dich, solange Du mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v fährst, als ruhend (und den Erdboden als riesiges, mit −v bewegtes Laufband interpretieren, aber Du musst es nicht. Im Alltag tut das praktisch niemand, jeder sagt "ich fahre von [Start] zu [Ziel]", nicht "ich rolle auf der Stelle und lasse [Ziel] auf mich zukommen".
