Kovarianz berechnen?

Im zweimaligen Wurf eines fairen Würfels sei X das Ergebnis des ersten Wurfes, Y das Maximum sowie Z das Minimum der beiden Würfe.

Ich soll nun die Kovarianzen Cov(X,Y), Cov(X,Z) und Cov(Y,Z) berechnen. Ich kenne auch die Formel, weiß aber nicht, wie ich E[X*Y] etc berechne. Kann mir bitte jemand helfen?

Davor habr ich schon eine Kontingenztafel gezeichnet für Y,Z und deren Erwartungswerte berechnet.

24.03.2022, 16:35

die Tafel für Y,Z

2 Antworten

Mathmaninoff, UserMod Light

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

23.03.2022, 12:42

Wenn du schon für Y,Z eine Kontingenztafel gemacht hast, kannst du das genauso für X•Y etc machen: Auf einer Achse Ergebnis des ersten Wurfes, auf der anderen das Ergebnis des zweiten Wurfes, die Werte für X•Y eintragen, zusammenzählen und durch 36 teilen.

Tabelle aus Ergänzung multipliziert mit Y ⋅ Z und aufsummiert = 12,25 = 441/36

mathe999

Fragesteller

23.03.2022, 12:43

aber ich bekomme es auch mit der Kontingenztafel irgendwie nicht hin..

Jangler13

24.03.2022, 15:50

@mathe999

Es genau klappt denn nicht?

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 16:06

@Jangler13

Also ich habe halt die Lösung, aber verstehe einfach nicht, wie die auf diese Zahlen gekommen sind. Ich kann es mal hochladen, wenn du dich damit auskennst?

Jangler13

24.03.2022, 16:07

@mathe999

Hast du denn die Kontogenztafel bestimmt?

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 16:11

@Jangler13

Ja für Y,Z schon

Jangler13

24.03.2022, 16:13

@mathe999

Jetzt musst du nur jeden Eintrag mit dessen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alles aufaddieren

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 16:33

@Jangler13

aber welche Einträge womit denn? Da steht ja so viel drin, hab ein Bild hochgeladen

Jangler13

24.03.2022, 17:09

@mathe999

Du multiplizierst jede berechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Produkt der Werte von Y und Z addierst alles auf. Also ALLE 36 Einträge. (Die mit der 0 kannst du aber natürlich auslassen)

Also: 1/36* 1 * 1 + 2/36* 1 * 2 + 2/36* 1 * 3 .... + 1/36 * 6 * 6

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 18:55

@Jangler13

Ahh okay danke. Und dann male ich mir für jede Kovarianz wieder ne Tabelle? Also für X,Y zb. Dachte das wären weniger Rechenschritte als diese 36 Einträge :D aber danke, dann rechne ich jetzt mal los!

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 19:09

@Jangler13

Ich komme leider auf ein falsches Ergebnis..

Mathmaninoff, UserMod Light

24.03.2022, 20:02

@mathe999

Was rechnest du?

Bei Y*Z ist es übrigens leicht. Da kommen nämlich automatisch immer beide Würfelzahlen vor. Y, Z sind also unabhängig und der Erwartungswert des Produktes somit das Produkt der Erwartungswerte.

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 20:05

@Mathmaninoff, UserMod Light

Ich habe 1*1*1/36+.. gerechnet, also für alle Einträge. Ist das richtig?

Mathmaninoff, UserMod Light

24.03.2022, 20:11

@mathe999

Mit einem Summanden ist das schwierig vorherzusagen. Ich bekomme 441/36.

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 20:13

@Mathmaninoff, UserMod Light

ich 49/9 - das ist das gleiche oder??

Mathmaninoff, UserMod Light

24.03.2022, 20:25

@mathe999

Das ist was anderes. Ich habe die Tabelle zur Rechnung in meiner Antwort ergänzt.

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 20:27

@Mathmaninoff, UserMod Light

Aber 441/36 ist doch gekürzt 49/9 und das ist 12,25

Mathmaninoff, UserMod Light

24.03.2022, 20:34

@mathe999

12,25 = 441/36 > 360/36 = 10 = 90/9 > 49/9 = 5,44...

annaaa27

24.03.2022, 20:43

@Mathmaninoff, UserMod Light

Ich glaube die Person hat sich verschrieben und meint 49/4?

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 23:07

@Mathmaninoff, UserMod Light

Ich habe mich verschrieben, ich hatte tatsächlich 49/9 raus.

Halbrecht

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, Statistik, Stochastik

24.03.2022, 15:36

Wurf

4 6

erzeugt

x y z x*y

4 6 4 24

5 1

erzeugt

5 5 1 25

E(xy) = 1/36 * ( 24 + 25 +++++ )

geht ja sogar einfacher : Wiki EW

Bild zum Beitrag

mathe999

Fragesteller

24.03.2022, 15:41

Ich verstehe es leider noch nicht. Ich versuche mich gerade an Cov(Y,Z) und habe die Lösung, aber wie komme ich bei E(Y*Z) auf 266/36? Kannst du mir das vllt Schritt für Schritt erklären?

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ii) Varianz: (10 - 12,5)² 1/2 + (5 - 12,5)² * 1/6 + (20 - 12,5)² * 1/3 = 31,25

iii) Wurzel von 31,26 = 5,5902

α) Es weden alle Individuen gezogen. Der Ausgang ist deterministisch und damit (richtig oder Quatsch?)

β)Für die Kovarianz habe ich folgende Formel im Internet gefunden

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γ)Hier hätte ich gesagt 1/30 * 31,25 = 1,0412. Hier bin ich mir nicht sicher, ob es nicht doch zu einfach ist.

c) Auch hier wieder eine Formel durch Internetrecherche

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    for (int i = 1; i < wuerfel.length; i++) {
      wuerfel[i] = (int)(Math.random() * 6 + 1);
      System.out.println(" Wurf " + i + " ergab " + wuerfel[i]);
    }
  }
}

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