Korrekte Entwicklung einer Taylorreihe?

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Die Reihenentwickung ist korrekt, allerdings solltest du f(x) = ... schreiben und (1-2) durch (-1) ersetzen.

Bei der Untersuchung der Konvergenz ist

a_n = (-1)^n (n+1) (x-2)^n

Du musst ja eine Bedingung für das x herausbekommen, |x-2|<1. Das Konvergenzintervall hast du richtig angegeben, aber die Herleitung ist es nicht.