Koeffizient?

Was wäre der Koeffizient von x oder x^3 in (x-2)^6?

wie komme ich darauf?

Answer 1

[DieChemikerin]

Hi,

über das Pascalsche Dreieck kommst du zur Lösung.

In der Reihe für (a+b)⁶ haben wir die Faktoren 1-6-15-20-15-6-1. Du fängst links mit a⁶ an und gehst bis a⁰ runter, für b genau umgekehrt. Allgemein hast du dann:

a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6 ab⁵ + b⁶.

Nun haben wir a = x und b = -2. Wir erhalten:

(x-2)⁶ = x⁶ - 12x⁵ + 60x⁴ - 160x³ + 240x² - 192x + 64.

Ich hoffe mal ich hab mich nicht verrechnet.

LG

Woher ich das weiß: Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK

Comments

[annaw2179]

Vielen Dank!

[DieChemikerin]

@annaw2179

Gern geschehen :)

[Genius11]

Das geht noch einfacher. Insgesamt kannst du das mit dem Binomialkoeffizienten, den ich nachfolgend ncr(n,k) nenne, berechnen. Dann gilt in diesem Fall ncr(6,k)(-2)^(6-k). Das lässt sich verallgemeinern und ist als binomischer Lehrsatz bekannt.

[annaw2179]

noch eine Frage dazu :) das heißt der Koeffizient von x^6 wäre 0?

[DieChemikerin]

@annaw2179

Nee, nicht ganz :)

Der Koeffizient ist einfach 1. Wenn er Null wäre, fiele der Term ja komplett weg.

[annaw2179]

@DieChemikerin

Ahh danke :)

Answer 2

[evtldocha]

Mit dem binomischen Lehrsatz: $\left(x-2\right)^6=\sum_{k=0}^6\binom{6}{k}\cdot x^{6-k}\cdot\left(-2\right)^k$

Koeffizient von x → k=5 $\binom{6}{5}\cdot\left(-2\right)^5=-6\cdot32\ =-192$

Koeffizient von x³ → k=3 $\binom{6}{3}\cdot\left(-2\right)^3=\frac{6\cdot5\cdot4}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(-8\right)=-5\cdot4\cdot8=-160$

Comments

[annaw2179]

Was wäre denn da der Koeffizient von x^6? Ich komme auf -42? Stimmt das?

[evtldocha]

@annaw2179

Der wäre "1". Das kann man sich aber auch ohne den Lehrsatz überlegen, dass das so sein muss, wenn es vor dem x in der Klammer keinen Faktor ungleich 1 gibt.

[annaw2179]

Vielen Dank!