Kann mir jemand bei meiner Mathe PL über lineares und exponentielles Populationswachstum helfen?
Hallo erstmal.
Ich halte heute in 2 Wochen meine PL (S3) in Mathe und in heute einer Woche muss ich meine Dokumentation abgeben. Ich muss nur erstmal die Aufgabe verstehen... Vielleicht kannst du mir ja helfen. :) Diese Informationen und Aufgaben habe ich dazu bekommen.
Das Wachstum zweier Populationen lässt sich durch die Funktion f bzw. g beschreiben. Die Funktion f beschreibt exponentielles, die Funktion g lineares Wachstum. Dabei bezeichnen f(t) bzw. g(t) die Anzahl der Individuen der Populationen zum Zeitpunkt t (t in Jahren).
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Stelle die Gleichungen für f(t) und g(t) auf, wenn der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0 jeweils 1500 Individuen und der Bestand nach zehn Jahren jeweils 2000 Individuen beträgt.
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Berechne den Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Jahre, bei dem der Unterschied zwischen linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum am größten ist.
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Bestimme näherungsweise den Zeitpunkt, an dem eine Population doppelt so viele Individuen hat wie die andere.
Damit du jetzt nicht denkst, ich würde die ganze Arbeit von mir schieben! Meine Ansätze:
Formel für lineares Wachstum: B(t)= p x t + B(0) und exponentielles Wachstum: B(t)= B(0) x a^t
B(0) ist der Anfangsbestand, also 1500 Individuen; p ist die Änderungsrate; t ist die Zeit, hier in Jahren, a ist der Wachstumsfaktor (a=1+p)
Für Aufgabe 1: 2000 - 1500 = 500 also 500 : 10 Jahre = 50 pro Jahr. 50 ist für das lineare Wachstum also die Änderungsrate (p)
Damit kann ich die Gleichung aufstellen: B(10)= 50 x 10 + 1500 = 2000
Für das exponentiellen Wachstum: Zuerst muss ich nach a auflösen.
Allgemeine Formel zum auflösen von a:
B(t) = B(0) x a^t -> durch B(0)
B(t)/B(0) = a^t
t Wurzel von (B(t)/B(0) = a
Für meine Aufgabe:
g(10)= 1500 x a^10 -> durch 1500
g(10)/1500 = a^10 -> die 10. Wurzel von a
- Wurzel von g(10)/1500 = a = 1.029186009
Damit komme ich dann auch ungefähr auf 2000 Individuen nach 10 Jahren.
Habe ich bis hier hin alles richtig gemacht? Bei den nächsten beiden Aufgaben bin ich dann gescheitert. Ich weiß nur, dass es sich bei Aufgabe 2 nur um den Intervall [0;10] handelt und ich denke ich muss die Differenz berechnen mit einer senkrechten Geraden, wenn ja: Wie finde ich heraus, wo ? Bei Aufgabe 3 denke ich wegen "Bestimme näherungsweise.." daran x gegen einen Wert zu stellen. Außerdem habe ich mir die Graphen mit den Daten aufgemalt und das heißt g(t) =1/2 f(t), da g(t) deutlich schneller ansteigt als f(t).
Ich weiß, dass war jetzt echt viel Text, aber ich hoffe Ich könnte wenigstens schon mal einen Teil klären.
2 Antworten
2. Berechne die Extremstelle (Hochpunkt) der Differenzfunktion d(x) = f(x)-g(x). (entspricht der Stelle, an der die Funktionen den größten Abstand haben.)
Da 3. nur "Bestimme" und "näherungsweise" steht, würde ich einfach systematisch Zahlen für x einsetzen und schauen wann f(x) etwa doppelt
Hi,
Ja, das ist soweit richtig.
Zu 2) Wann ist der Unterschied am größten?
Dazu schreibe die "Unterschiedsfunktion" h auf:
h(t) = f(t) - g(t)
Berechne die 1. Ableitung von h und schau dir das Vorzeichen
von h'(x) auf dem Intervall [0,10] an.
Du wirst feststellen, dass es bei 0 und bei 10 verschiedene Vorzeichen hat.
Daraus kannst du folgern, dass es zwischen 0 und 10 einen Wert
a gibt, wo h'(a) = 0 gilt.
Dieser Wert ist der gesuchte, also löse die Gleichung h'(x) = 0
Ich finde x ≈ 5,3
3) Hier musst du wieder eine Gleichung aufstellen:
Für welches t gilt g(t) = 2•f(t) ?
Die Gleichung lässt sich nur durch Approximation lösen, also gehe vor, wie Blvck geschrieben hat. Mit dem Programm Geogebra finde ich t liegt irgenwo zwischen 62 und 63.
Gruß
Danke für die Hilfe.Ich werde das nochmal so durchgehen. Bei GeoGebra wollte ich es auch eingeben, aber das Programm sieht bei mir irgendwie anders aus als in der Schule. Mal sehen, ob ich mich da noch zurecht finde.
Bei der Ableitung hast du dich verrechnet.
Grundsätzlich gilt für a > 0 : ist u(x) = a ͯ , dann ist u'(x) = ln(a)•a ͯ
Also gilt für h(x) = 50x +1500 - 1500•1,029 ͯ :
h'(x) = 50 - 1500•ln(1,029)•1,029 ͯ
"Außerdem weiß ich auch nicht, warum man genau die Ableitung braucht."
Um das x, für das die Funktion h ein Maximum annimmt zu berechnen.
Hat eine Funktion f an einer Stelle x=a ein lokales Maximum (oder Minimum), dann gilt f'(a) = 0
Um so eine Stelle zu finden, stellt man also die Gleichung h'(t) = 0
auf und versucht, das t zu berechnen.
(Bemerkung: Ich rechne lieber mit 1,029 als mit 1,03, da die eine tausendstel Stelle im Ergebnis einen grossen Unterschied macht, habe ich gerade gemerkt.)
h'(t) = 0 <=> 1500•ln(1,029)•1,029 ͯ = 50 <=>
1,029 ͯ = 50 / (1500•ln(1,029) ) = 1/(30•ln(1,029)) | ln
x • ln(1,029) = ln( 1/(30•ln(1,029)) ) =
ln(1) - ln(30•ln(1,029)) = -ln(30•ln(1,029)) | : ln(1,029)
also x = -ln(30•ln(1,029)) / ln(1,029) ≈ 5,37
(Rechne ich mit 1,03, dann erhalte ich x ≈ 4,06, ein Unterschied von
1,3 Jahren!)
Das ich falls abgeleitet habe, habe ich heute im Unterricht auch gesehen, da wir das zum ersten mal durchgegangen sind. Ich muss ja die Kettenregel anwenden, die kannte ich vorher noch nicht. Ich bin das mit meiner Lehrerin vorhin nochmal durchgegangen. Ich habe auch mit 1,029 bzw. 0,029 (ln von 1.029) weiter gerechnet, da ich den Unterschied auch gemerkt habe. :)
Wir sind allerdings auf etwas anderes gekommen und haben auch mit der e-Funktion gerechnet.
h(t)= 50x + 1500 -1500 x e^0,029x
h'(t)= 50 -1500 x 0,029 x e^0,029x
h'(t) <=> 50 - 43,5e^0,029x = 0 |+43,5e^0,029x
50 = 43,5e^0,029 |:43.5
100/87 = e^0,029x | ln
ln(100/87) = ln(e^0,029)
ln(100/87) = 0,029x x ln(e) | ln(e) ist ja 1, fällt also weg
ln(100/87) = 0,029x |:0,029
ln(100/87)/0,029 = x
Für ln(100/87)/0,029 kommt 4,8021 raus.
Aber rein für den Kontext: 4,8 wäre jetzt der x-Wert für den Hochpunkt bei h'(t) oder h(t)? Und warum sagt mir das, dass an der Stelle die Funktionen f(t) und g(t) den größten Unterschied haben? Mich verwirrt das nur, weil h(t) in meinem Kopf eigentlich eine Gerade sein müsste und das passt für mich nicht mit der e-Funktion zusammen, Mathe ist sehr verwirrend, vorallem, wenn man das Thema vorher noch nicht wirklich hatte.
Außerdem sehen meine Funktionen in GeoGebra ganz anders aus und ich weiß nicht wieso.. Hier mal ein Bild davon: http://fs1.directupload.net/images/171127/ek75nji4.png
Tut mir leid, dass ich so viele Fragen habe, aber ich bin leicht verwirrt.
"Tut mir leid, dass ich so viele Fragen habe, aber ich bin leicht verwirrt."
Kein Problem. Du möchtest es richtig verstehen, ich finde es gut, dass du Fragen stellst.
Ich habe mir dein Bild von Geogebra angeschaut.
Da ist ein Fehler bei der Funktion g:
Du hast geschrieben g(x) = 1500 e^(ln(1.029x))
e^(ln(1.029x)) ist aber nichts anderes als 1.029ˣ.
In der Funktion h schreibst du e^(0.029x), wie auch hier.
Vermutlich meinst du also e^(0.029x).
Welche Exponentialfunktion man nehmen soll, habe ich mich auch gefragt. Da war ich von der ausgegangen, die du ursprünglich genommen hast (1.029ˣ).
Eigentlich müsste die in der Aufgabe vorgegeben werden. Ich weiß nicht, warum man hier nun die e-Funktion nimmt, aber egal.
Deine Rechnung ist ok, ich habe das gleiche Ergebnis raus (4,8, bei
h'(x) = 0 ).
"Aber rein für den Kontext: 4,8 wäre jetzt der x-Wert für den Hochpunkt bei h'(t) oder h(t)?"
Es gilt h'(4,8) = 0 , und h(t) hat bei t=4,8 ein Hochpunkt auf dem Intervall [0,10].
Schaue dir mal folgendes Bild an:
https://s26.postimg.org/ypyek3rx5/Pop\_14-19k.png
Da habe ich in Geogebra den Maßstab vergrößert, so dass man den Unterschied zwischen g(x) und f(x) sehen kann.
Bei x=0 sind beide Kurven auf der Höhe 1500, sie gehen also durch den Punkt (0;1500. Mit größer werdendem x liegt die lineare (grüne) Kurve über der blauen (Exponentialfunktion), bei knapp 5 ist ihr Abstand am größten, und bei ungefähr x = 7 kommen sie wieder zusammen.
Ist x > 7, liegt die blaue Kurve dann über der grünen.
Hier ist nun das globale Bild:
https://s26.postimg.org/jspxj3eop/Pop\_global.png
Da liegen wegen des Maßstabs die Kurven f und g zwischen 0 und 10 so dicht beieinander, dass man den Unterschied nicht sieht, aber man sieht hier, dass die Funktion h in der Nähe von 5 ein Maximum hat.
Man sieht aber an der rogen Kurve (= h(x), also die Differenz zwischen f(x) und g(x), dass h(x) bei ungefähr 5 maximal ist.
"Mich verwirrt das nur, weil h(t) in meinem Kopf eigentlich eine Gerade sein müsste und das passt für mich nicht mit der e-Funktion zusammen"
Das verstehe ich nicht. Der Graph einer Exponentialfunktion kann keine Gerade sein, und der Graph von g ist ja auch keine Gerade.
Der Graph von f ist eine Gerade, da f ja eine lineare Funktion ist.
Habt ihr schon das Thema Kurvendiskussion behandelt?
Ich habe die Fehler bei GeoGebra verbessert und es verändert sich trotzdem nicht groß, bei mir gehen die Funktionen komischerweise nur nach oben und nicht nach rechts weiter.
Dürfte ich für meine Präsentationsleistung die Bilder verwenden, die du mit den Funktionen gemacht hast?
Die Funktion ist in der Aufgabe nicht gegeben gewesen, da ich mit den Informationen aus dem Text mir bei der ersten Aufgabe die Funktion selber her leiten sollte.So denke ich das zumindest.
Danke für die ausführliche Erklärung, jetzt habe ich auch verstanden, warum h keine Gerade ist. Ich dachte nur h wäre eine senkrechte Gerade auf x=4,8, die man so graphisch als Differenz zeigen könnte.
Was mir gerade noch einfällt: Für die dritte Aufgabe meinte meine Lehrerin es reicht, wenn ich das nur mit GeoGebra zeige, da da ja "bestimme näherungsweise" steht. Mein GeoGebra zeigt mir ja jetzt so komische Graphen.. Bei deiner ersten Antwort meintest du g(t)= 2 x f(t) gilt ungefähr zwischen 62 und 63. Wenn du so lieb wärst, könntest du mir diesen Ausschnitt nochmal zeigen?
Ich glaube, ich weiß warum du trotz der richtigen Funktionen die Graphen nicht so siehst wie bei mir.
Wenn ich an den Parametern von Geogebra (GG) nichts geändert hätte, dann würde ich das Bild genauso wie bei dir sehen.
Man muss die x-Achse von der y-Achse entkoppeln. Beide Achsen müssen verschiedene Maßstäbe haben. Bei mir geht die x-Achse von -10 bis 73 Einheiten, und die y-Achse von -670 bis 9735.
Die Achsen sind nicht mehr 1 zu 1, sondern 1 zu 161, d.h. einer Einheit auf der x-Achse entsprechen 161 Einheiten auf der y-Achse.
Das in Geogebra anzupassen ist etwas versteckt. Du kannst hier in
3 Bildern sehen, auf welche Menüpunkte du in GG gehen musst:
Zuerst hierauf:
https://s26.postimg.org/5ejbzqiah/Geo\_G\_1a.png
dann hier
https://s26.postimg.org/u92ttt34p/Geo\_G\_2a.png
und als letztes hier
https://s26.postimg.org/62s6ioh09/Geo\_G\_3a.png
Mein GG ist in Englisch, aber mit den roten Pfeilen wirst du das finden, auch wenn dein GG in Deutsch ist.
Unabhängig davon kannst du gerne meine Bilder verwenden, na klar.
"Bei deiner ersten Antwort meintest du g(t)= 2 x f(t) gilt ungefähr
zwischen 62 und 63. Wenn du so lieb wärst, könntest du mir diesen Ausschnitt nochmal zeigen?"
Das siehst du auf dem Bild, das ich über deinem letzten Kommentar gepostet habe, der Link steht unter "Hier ist nun das globale Bild".
Dort habe ich zwei orangene horizontale Linien eingezeichnet, eine bei y = 4500, die da drüber bei y = 9000.
Man sieht dass die beiden Linien die grüne und die blaue Kurve genau bei x = 60 schneiden. Das bedeutet, dass bei x=60 die grüne Kurve (die lineare) auf dem Niveau 4500 liegt, während die blaue (die Exponentialfunktion) auf dem Niveau 9000 ist.
(Das ist ungefähr, es könnte auch bei x=59 oder 58 sein. Es gibt einen winzigen Unterschied zu der ersten Exponentialfunktion, wo wir mit 1.029 ͯ und nicht mit e⁰⁰³ ͯ gerechnet haben.)
P.S. Ich hab' mir gerade nochmal dein Bild angeschaut.
Es ist in der Tat so wie ich es mir gedacht habe. Auf deinem Bild sieht man, dass die x- und die y-Achse den gleichen Maßstab haben, beide gehen in Schritten von 200 Einheiten.
Da ist klar, dass man die Kurve nur so steil hochgehen sieht, so gut wie senkrecht.
Du musst dir vorstellen, dass ich die x-Achse in meinem GG gespreizt (auseinandergezogen) habe, während die y-Achse fest bleibt. Ich ziehe die x-Achse um das 160-fache auseinander!
Das ändert dann natürlich das Aussehen der Kurven.
Ich habe mir angewöhnt, die Achsen an jede Aufgabe so anzupassen, dass man gut sieht, wie die Situation ist.
Versuche mal, das in deinem GG anzupassen . Wenn du das Prinzip einmal verstanden hast, dann kannst du dich auf jede Aufgabe und jede Situation einstellen. Ich finde das macht dann richtig Spaß.
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe. Ich werde meine Dokumentation jetzt zu Ende machen. Leider hat mein GG diese Spalte oben nicht und ansonsten kann ich die Einheit nur von (z.B.) cm in mm umstellen, aber nicht die Größe. Muss mich da mal in Ruhe nochmal ransetzen denke ich.
Ich war schon kurz davor aufzugeben, aber jetzt habe ich alles verstanden, das fühlt sich gut an, jetzt muss die Doku und die Vorstellung nur noch gut laufen.:)
Nochmal zu Aufgabe 2:
h(t)= (50x + 1500) - (1500 x 1.03^x)
Für die Ableitung habe ich h'(t)= 50 x 1.03^x ln(x) (weiß nicht, ob ich richtig abgeleitet habe, aber denke schon.)
Ich hab dann die Funktion in den Taschenrechner eingegeben und der sagt mir aber h'(t)=0 wenn x=1.
Außerdem weiß ich auch nicht, warum man genau die Ableitung braucht. Sagt die Ableitung nicht nur die momentane Änderungsrate aus?
Sowieso lese ich vieles verschiedenes im Internet und habe eben mal die Differentialgleichung für g(t) gemacht, weiß aber auch nicht, wie mir das weiter helfen könnte. Das verwirrt mich eher noch mehr.